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ハール測度

(Haar measure から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/04/17 07:59 UTC 版)

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解析学におけるハール測度(ハールそくど、: Haar measure)は、局所コンパクト位相群上で定義される正則不変測度である。ハンガリーの数学者アルフレッド・ハールにその名を因む。

定義

G局所コンパクト群BG のコンパクト集合全体から生成される完全加法族とする。零でない非負値完全加法的集合関数 μ: BR+ ∪ {∞} で、以下の条件

  1. G のコンパクト集合 K の測度 μ(K) は有限値をとる。
  2. G の開集合 O の測度はコンパクト集合 KO で内側から近似される(μ(O) = sup μ(K))。
  3. G の任意の部分集合 S の測度 μ(S) は開集合 OS で外側から近似される(μ(S) = inf μ(O))。
  4. G の元 g による左移動作用に関して任意の集合 S の測度は不変である(μ(g(S)) = μ(S))。

を全て満たすものを測度空間 (G, B) 上の左ハール測度と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は正則 (regular) であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、右ハール測度ハール測度が定義される。

局所コンパクト群上に左(あるいは右)ハール測度は必ず存在して、しかも正定数倍の違いを除いて一意に定まる(二つの左ハール測度 μ, μ′ があれば μ = c μ′ となる正の定数 c が取れ、また右不変なものに関しても同様である)。逆元を取る作用により左不変測度は右不変測度に、右不変測度は左不変測度にそれぞれ移される。

不変汎関数

局所コンパクト群 G 上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数のなすベクトル空間を Cc(G) とし、その連続的双対空間を M(G) とする。不変ハール測度は不変正値汎関数(ハール汎関数とも呼ばれる)と一対一に対応するので、しばしば不変ハール測度と不変ハール汎関数とを同一視して扱われる。

実際に、局所コンパクト群 G とその上の左ハール測度 μ に対して Cc(G) の元 f の μ に関する積分を対応させる汎関数

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。2015年11月

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