自由粒子 (英 : free particle ) は束縛 されていない粒子 である。古典力学的には、場 の影響を受けていない ("field-free") 空間 に存在する粒子を意味する（粒子は外力 を受けない）。そのため、自由粒子のポテンシャルエネルギー はその位置 によらず一定である[1]
古典的自由粒子 古典力学 的な自由粒子は単純に一定の速度 によって特徴付けられる。その運動量 は
p
=
m
v
{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }
であり、そのエネルギー は
E
=
1
2
m
v
2
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}}
である。ここで、m は粒子の質量 、 v は粒子の速度ベクトルである。
非相対論的量子力学自由粒子 非相対論的量子力学 において、初期状態が
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}
シュレーディンガー方程式 は以下のとおりである：
i
ℏ
∂
∂
t
ψ
(
x
,
t
)
=
−
ℏ
2
2
m
∑
j
=
1
d
∂
2
∂
x
j
2
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{j=1}^{d}{\partial ^{2} \over \partial x_{j}{}^{2}}\ \psi (\mathbf {x} ,t)}
ψ
(
x
,
0
)
=
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,0)=\psi _{0}(\mathbf {x} )}
である。ここでx x 1 ,...,x d )d 次元空間R d m >0d は3とするが、方程式の解法は3以外のd に関しても同様なので、以下d は3とは仮定しない。
絶対可積分な場合 本節では
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}
x R d R d ルベーグ積分 が有限値である事）を仮定した上で、(1)、(2)の解を導く。波動関数
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}
自乗可積分 ではあっても)絶対可積分とは限らないため、この仮定は常に成り立つわけではない。そこで次節ではこのような仮定を置かない一般の場合の解法を述べる。
解法 仮定より
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
x x
ψ
^
(
p
,
t
)
=
1
(
2
π
)
d
/
2
∫
R
d
e
−
i
p
x
/
ℏ
ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)={1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
が定義でき、
ψ
^
(
p
,
t
)
{\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)}
(1)、(2)の両辺をフーリエ変換する事で、
i
ℏ
∂
∂
t
ψ
^
(
p
,
t
)
=
|
p
|
2
2
m
ψ
^
(
p
,
t
)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}\ {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)}
ψ
^
(
p
,
0
)
=
ψ
^
0
(
p
)
{\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,0)={\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}
を得る。ここで
ψ
^
0
(
p
)
{\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}
ψ
0
(
p
)
{\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {p} )}
(1')、(2')は容易に解くことができて、
ψ
^
(
p
,
t
)
=
e
x
p
(
−
i
2
m
ℏ
|
p
|
2
t
)
ψ
^
0
(
p
)
{\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)=\mathrm {exp} \left(-{i \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}
である。
解 最後に上式をp
ψ
(
x
,
t
)
=
∫
R
d
e
x
p
(
i
ℏ
(
p
x
−
E
(
p
)
t
)
)
ψ
^
0
(
p
)
d
p
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {exp} \left({i \over \hbar }(\mathbf {p} \mathbf {x} -E(\mathbf {p} )t)\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )\mathrm {d} \mathbf {p} }
を得るT09 :p205 。ここで
E
(
p
)
=
|
p
|
2
2
m
.
{\displaystyle E(\mathbf {p} )={|\mathbf {p} |^{2} \over 2m}.}
積のフーリエ逆変換が畳み込み積 に対応している事を利用して(a)のフーリエ逆変換を具体的に計算することで、
ψ
(
x
,
t
)
=
(
m
2
π
i
ℏ
t
)
n
/
2
∫
R
d
e
x
p
(
i
m
|
x
−
y
|
2
2
ℏ
t
)
ψ
0
(
y
)
d
y
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\left({m \over 2\pi i\hbar t}\right)^{n/2}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {exp} \left({im|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{2} \over 2\hbar t}\right)\psi _{0}(\mathbf {y} )\mathrm {d} \mathbf {y} }
と書くこともできる。なお、
e
x
p
(
−
i
2
m
ℏ
|
p
|
2
t
)
{\displaystyle \mathrm {exp} \left(-{i \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right)}
R d 可積分 関数でない関係で(a)から(c)を直接得ることはできず、代わりに
e
x
p
(
−
i
+
ε
2
m
ℏ
|
p
|
2
t
)
{\displaystyle \mathrm {exp} \left(-{i+\varepsilon \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right)}
ε→0 とする必要があるT09 :p206 。
一般の場合 波動関数
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}
自乗可積分 ではあっても)絶対可積分とは限らないため、一般の場合の解を得るには前節の議論を修正する必要がある。
解法 前節との違いはフーリエ変換の定義である。
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}
R
d
{\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}
R
d
{\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}
1
(
2
π
)
d
/
2
∫
R
d
e
−
i
p
x
/
ℏ
ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
は一般には意味を持たない。 そこでまず原点中心の半径r の球体 B (0,r )
1
(
2
π
)
d
/
2
∫
B
(
0
,
r
)
e
−
i
p
x
/
ℏ
ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{B(0,r)}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
を考え、この積分のL2 極限
l
.
i
.
m
r
→
∞
1
(
2
π
)
d
/
2
∫
B
(
0
,
r
)
e
−
i
p
x
/
ℏ
ψ
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle {\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}{1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{B(0,r)}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
によりフーリエ変換を定義する新井 (p197) 。 ここでL2 極限l.i.m は以下のように定義される:
l
.
i
.
m
r
→
∞
F
(
r
)
=
A
⟺
d
e
f
lim
r
→
∞
∫
R
d
|
F
(
r
)
−
A
|
2
d
r
=
0.
{\displaystyle {\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}~F(r)=A{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\lim _{r\to \infty }\int _{\mathbf {R} ^{d}}|F(r)-A|^{2}\mathrm {d} r=0.}
なお、波動関数
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
x B (0,r )
ψ
(
x
,
t
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}
B (0,r )
解 以上の理由により、一般の場合の解は、(a)、(c)の右辺の積分をL2 極限に置き換えた以下のものとなるT09 :p206 ：
ψ
(
x
,
t
)
=
l
.
i
.
m
r
→
∞
∫
B
(
0
,
r
)
e
x
p
(
i
ℏ
(
p
x
−
E
(
p
)
t
)
)
ψ
^
0
(
p
)
d
p
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}\int _{B(0,r)}\mathrm {exp} \left({i \over \hbar }(\mathbf {p} \mathbf {x} -E(\mathbf {p} )t)\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )\mathrm {d} \mathbf {p} }
ψ
(
x
,
t
)
=
(
m
2
π
i
ℏ
t
)
n
/
2
l
.
i
.
m
r
→
∞
∫
B
(
0
,
r
)
e
x
p
(
i
m
|
x
−
y
|
2
2
ℏ
t
)
ψ
0
(
y
)
d
y
{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\left({m \over 2\pi i\hbar t}\right)^{n/2}{\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}\int _{B(0,r)}\mathrm {exp} \left({im|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{2} \over 2\hbar t}\right)\psi _{0}(\mathbf {y} )\mathrm {d} \mathbf {y} }
ここでE (p
相対論的自由粒子 相対論 的な自由粒子を記述する方程式はさまざまある。自由粒子解の記述についてはそれぞれの記事を参照のこと。
脚注
^ A Free Particle
関連項目 文献
