4元ベクトル

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4元ベクトル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/04 22:55 UTC 版)

物理学の、特に相対性理論における4元ベクトル（よんげんべくとる、英語: four–vector ）とは、ミンコフスキー空間またはローレンツ多様体上の 4 次元のベクトルである。より具体的には、時間に対応する物理量と空間に対応する 3 次元ベクトルをまとめて 4 次元時空上のベクトルとして表示したものである。

ベクトルということで太字で表されたり、3次元のベクトルと区別するため細字のままのこともある。4元ベクトルの添え字は μ, ν などギリシャ文字を使用することが多い。i, j などラテン文字の添え字は、しばしば空間成分のみを表す意図で用いられる。添え字の上付き・下付きによって、後述する反変ベクトルと共変ベクトルを区別する。

定義

以下ではアインシュタインの縮約を使う。同じ添え字が上付きと下付きで出てきた場合はその添え字に対して和 (0, 1, 2, 3) をとる∑記号を省略している。

位置ベクトル

時間を t, 空間の 3 成分を x = (x, y, z ) とすると、4元位置ベクトルは、

$x^{\mu }=(ct,{\boldsymbol {x}})=(ct,x,y,z)$

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座標変換に対して、上に定義した4元位置ベクトルと同様にふるまうベクトルを4元ベクトルと呼ぶ。座標変換に対するふるまいかたには反変性と共変性の二通りがあるが（後述）、両方を4元ベクトルと呼ぶ。いくつかの具体例についても後述する。

反変ベクトルと共変ベクトル

座標変換 $x^{\mu }\to {x'}^{\mu }$ この項目は、自然科学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（Portal:自然科学）。