C∗-環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/23 04:16 UTC 版)
詳細は「C*-環」を参照 C∗-環 A は複素数体上のバナハ環であって、対合 ∗: A → A を備える。A の元 x の ∗ による像を x∗ と書くとき、対合 ∗ は以下の性質を満たす 対合性（英語版）: 任意の x ∈ A に対して x ∗ ∗ = ( x ∗ ) ∗ = x . {\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x.} 任意の x, y ∈ A に対して ( x + y ) ∗ = x ∗ + y ∗ . {\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}.} ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ . {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}.} 任意の λ ∈ C および任意の x ∈ A に対して ( λ x ) ∗ = λ ¯ x ∗ . {\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.} 任意の x ∈ A に対して ‖ x ∗ x ‖ = ‖ x ‖ ‖ x ∗ ‖ . {\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.} 確認事項 上三項は A が *-環（対合環）となることを言うものである。最後の等式を C∗-恒等式と呼び、‖ xx∗ ‖ = ‖ x ‖2 と同値である。この C∗-恒等式は非常に強い要求である。例えばスペクトル半径公式と合わせて、C∗-ノルムが、 ‖ x ‖ 2 = ‖ x ∗ x ‖ = sup { | λ | : x ∗ x − λ 1 is not invertible } {\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}} としてその代数構造から一意に決定されることが導かれる。
※この「C∗-環」の解説は、「作用素論」の解説の一部です。
「C∗-環」を含む「作用素論」の記事については、「作用素論」の概要を参照ください。
- C∗-環のページへのリンク
