2変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 08:06 UTC 版)
簡単のため、2 変数の場合のみを詳しく述べる。z = f(x, y) を R2 のある領域上で定義された実数値関数で、x と y とは関数関係を持たずに独立に変化することができるとする。そして y を任意の値 b で固定すると、これを z = f(x, b) = f1(x) という変数 x の関数だと思うことができる。このとき、この z = f1(x) の x = a における微分係数 d f 1 d x ( a ) = lim Δ x → 0 f 1 ( a + Δ x ) − f 1 ( a ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( a + Δ x , b ) − f ( a , b ) Δ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df_{1}}{dx}}(a)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f_{1}(a+\Delta x)-f_{1}(a)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}}\end{aligned}}} を z = f(x, y) の、点 (a, b) における x に関する偏微分係数とよぶ。この極限を ∂ z ∂ x | ( x , y ) = ( a , b ) = ∂ z ∂ x ( a , b ) = f x ( a , b ) = z x | x = a , y = b {\displaystyle \left.{\frac {\partial z}{\partial x}}\right|_{(x,y)=(a,b)}={\frac {\partial z}{\partial x}}(a,b)=f_{x}(a,b)=z_{x}|_{x=a,y=b}} などのように記す。z = f(x, y) を曲面と考えると、偏微分係数 fx(a, b) は領域上の点 (a, b) における、z の x 方向の傾きを表している。領域 D ⊂ R2 の各点 (x, y) で x に関する偏微分係数が存在するとき、これを x, y の関数と見た ∂ x f ( x , y ) = f x ( x , y ) = ∂ z ∂ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x {\displaystyle \partial _{x}f(x,y)=f_{x}(x,y)={\frac {\partial z}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}} を z = f(x, y) の x に関する偏導関数と呼ぶ。領域 D の各点で偏導関数が定義できるとき、z は領域 D において x に関して偏微分可能であるという。 同様に、x を任意の値 a で固定してできる z = f(a, y) = f2(y) という y についての関数が、ある領域 D に属する y について微分可能なら f y ( x , y ) = ∂ z ∂ y := lim Δ y → 0 f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δ y {\displaystyle f_{y}(x,y)={\frac {\partial z}{\partial y}}:=\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}} を z の y についての偏微分といい、z は D において y について偏微分可能であるという。
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