1粒子グリーン関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/12 10:23 UTC 版)
「グリーン関数 (多体理論)」の記事における「1粒子グリーン関数」の解説
場の量子論では、遅延グリーン関数 (retarded Green function) G A . B r {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {r} }} 、先進グリーン関数 (advanced Green function) G A . B a {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {a} }} 、因果グリーン関数 (causal Green function) G A . B c {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {c} }} を総称している。これらはまとめて二時間グリーン関数 (two-point Green function) とも呼ばれ、次のように定義される。 G A . B r = θ ( t − t ′ ) i ℏ ⟨ [ A ^ ( t ) , B ^ ( t ′ ) ] ± ⟩ G A . B a = − θ ( t − t ′ ) i ℏ ⟨ [ A ^ ( t ) , B ^ ( t ′ ) ] ± ⟩ G A . B c = 1 i ℏ ⟨ T [ A ^ ( t ) B ^ ( t ′ ) ] ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}G_{A.B}^{\mathrm {r} }&={\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {B}}(t')]_{\pm }\rangle \\G_{A.B}^{\mathrm {a} }&=-{\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {B}}(t')]_{\pm }\rangle \\G_{A.B}^{\mathrm {c} }&={\frac {1}{i\hbar }}\langle T[{\hat {A}}(t){\hat {B}}(t')]\rangle \end{aligned}}} ここで ⟨ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot \rangle } は基底状態での期待値を表す。演算子の時間依存性はハイゼンベルク描像を表す。θ(x) は階段関数、[^A, ^B]± := ^A^B ± ^B^A は交換子、T は時間順序積である。 ^A, ^B がそれぞれ場の演算子 ψ(r, t), ψ†(r, t) あるいは生成消滅演算子である場合、二時間グリーン関数 G(r, t, r', t') は1粒子グリーン関数（あるいは、1体グリーン関数； single particle Green's function）と呼ばれる。 G r ( r t , r ′ t ′ ) = θ ( t − t ′ ) i ℏ ⟨ [ ψ ^ ( r , t ) , ψ ^ † ( r ′ , t ′ ) ] ± ⟩ G a ( r t , r ′ t ′ ) = − θ ( t − t ′ ) i ℏ ⟨ [ ψ ^ ( r , t ) , ψ ^ † ( r ′ , t ′ ) ] ± ⟩ G c ( r t , r ′ t ′ ) = 1 i ℏ ⟨ T [ ψ ^ ( r , t ) ψ ^ † ( r ′ , t ′ ) ] ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}G^{\mathrm {r} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&={\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t),{\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]_{\pm }\rangle \\G^{\mathrm {a} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&=-{\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t),{\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]_{\pm }\rangle \\G^{\mathrm {c} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&={\frac {1}{i\hbar }}\langle T[{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t){\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]\rangle \end{aligned}}} これらの関数がグリーン関数と呼ばれる理由は、二時間グリーン関数が、相互作用がない場合の時間依存シュレーディンガー方程式の数学的な意味でのグリーン関数になっているからである。
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