類似物と拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/07 02:34 UTC 版)
ユニタリ行列を対象とした次の類似点も正である。すなわち、 すべてのユニタリ行列 U {\displaystyle U} に対して、2つの対角ユニタリ行列 L {\displaystyle L} と R {\displaystyle R} が存在し、 L U R {\displaystyle LUR} の列と行の合計は 1 になる。 行列間のマップに対する次の拡張も当てはまる（定理5 および定理 4.7 も参照）。すなわち、 密度行列を別の行列にマッピングする量子操作 Φ {\displaystyle \Phi } を表すクラウス演算子に対し、 S → Φ ( S ) = ∑ i B i S B i ∗ , {\displaystyle S\to \Phi (S)=\sum _{i}B_{i}SB_{i}^{*},} それはトレース保存であり ∑ i B i ∗ B i = I , {\displaystyle \sum _{i}B_{i}^{*}B_{i}=I,} さらに、その範囲が正定値錐の内部（真に正）にある場合、再スケールされたKraus演算子 S → x 1 Φ ( x 0 − 1 S x 0 − 1 ) x 1 = ∑ i ( x 1 B i x 0 − 1 ) S ( x 1 B i x 0 − 1 ) ∗ {\displaystyle S\to x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Sx_{0}^{-1})x_{1}=\sum _{i}(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})S(x_{1}B_{i}x_{0}^{-1})^{*}} が二重確率であるような正定値であるスケール因子 x 0 , x 1 {\displaystyle x_{0},x_{1}} が存在する。言い換えれば、それは次の 2 つの式を満たす。 x 1 Φ ( x 0 − 1 I x 0 − 1 ) x 1 = I , {\displaystyle x_{1}\Phi (x_{0}^{-1}Ix_{0}^{-1})x_{1}=I,} x 0 − 1 Φ ∗ ( x 1 I x 1 ) x 0 − 1 = I , {\displaystyle x_{0}^{-1}\Phi ^{*}(x_{1}Ix_{1})x_{0}^{-1}=I,} ここで、 I {\displaystyle I} は恒等演算子を示す。
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