離散表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/20 09:49 UTC 版)
「アディティブ・シンセシス」の記事における「離散表現」の解説
アディティブ・シンセシスのデジタル実装では、これまで扱ってきた連続時間の式（連続時間形式）の代わりに、離散時間の式（離散時間形式）を用いる。 連続時間形式(3)を出発点とする： y ( t ) = ∑ k = 1 K r k ( t ) cos ( 2 π ∫ 0 t f k ( u ) d u + ϕ k ) = ∑ k = 1 K r k ( t ) cos ( θ k ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos(\theta _{k}(t))\end{aligned}}} 連続時間形式を書き換えて離散時間形式を得るために、下記の置換を使う： 時刻： t → n / f s {\displaystyle t\ \to n/f_{\mathrm {s} }\,} 出力： y ( t ) → y [ n ] {\displaystyle y(t)\to y[n]\,} 振幅： r k ( t ) → r k [ n ] = r k ( n / f s ) {\displaystyle r_{k}(t)\to r_{k}[n]=r_{k}(n/f_{\mathrm {s} })\,} 瞬時周波数： f k ( t ) → f k [ n ] = ∫ ( n − 1 ) / f s n / f s f k ( u ) d u {\displaystyle f_{k}(t)\to f_{k}[n]=\int _{(n-1)/f_{\mathrm {s} }}^{n/f_{\mathrm {s} }}f_{k}(u)du\,} 瞬時位相： θ k ( t ) = 2 π ∫ 0 t f k ( u ) d u + ϕ k → θ k [ n ] = 2 π f s ∑ i = 0 n f k [ i ] + ϕ k {\displaystyle \theta _{k}(t)=2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)du+\phi _{k}\ \to \ \theta _{k}[n]={\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=0}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\,} ( ∵ d t = d n / f s ) {\displaystyle (\because dt=dn/f_{\mathrm {s} })\,} すると次の離散時間形式が得られる： y [ n ] = ∑ k = 1 K r k [ n ] cos ( 2 π f s ∑ i = 1 n f k [ i ] + ϕ k ) = ∑ k = 1 K r k [ n ] cos ( θ k [ n ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left({\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left(\theta _{k}[n]\right)\\\end{aligned}}} ここで θ k [ n ] {\displaystyle \theta _{k}[n]\,} の差分より θ k [ n ] = θ k [ n − 1 ] + 2 π f s f k [ n ] , n > 0 θ k [ 0 ] = ϕ k {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}[n]&=\theta _{k}[n-1]+{\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}f_{k}[n]\ ,\quad n>0\\\theta _{k}[0]&=\phi _{k}\end{aligned}}} である。
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