陰的ルンゲ＝クッタ法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/18 03:25 UTC 版)
「ルンゲ＝クッタ法」の記事における「陰的ルンゲ＝クッタ法」の解説
いままでに述べた方法はすべて陽公式である。陽的ルンゲ＝クッタ方法の絶対安定性領域（region of absolute stability）が小さくて有界であるため、硬い方程式の解を計算する場合、方法は不適切である。この問題は特に偏微分方程式の解を計算するときに重要である。 陽的方法の不安定さは陰的ルンゲ＝クッタ法の開発の動機となる。陰的ルンゲ＝クッタ法は上述の一般的な公式と同じく、以下の形で与えられる y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i , {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},} 但し、 k i = f ( t n + h c i , y n + h ∑ j = 1 s a i j k j ) , i = 1 , … , s . {\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+hc_{i},y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.} であり、対応するルンゲ＝クッタ行列は厳密な下三角行列ではない。結果として、一時刻ごとに代数方程式系を解かなければならなくなる。応じて、計算コストもかなり上がる。s 段法を使って m 個の成分からなる微分方程式系（すなわち y → = ( y 1 , … , y m ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},\ldots ,y_{m})} のとき）に適用する場合に対応する代数方程式の数は ms となる。これは陰的線型多段法とも比較できる：s 段陰的線型多段法を使って同じ方程式系に適用する場合に対応する代数方程式の数は m であり、段数 s に依存しない。
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