量子力学における2状態系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:22 UTC 版)
「ブロッホ方程式」の記事における「量子力学における2状態系」の解説
ブロッホ方程式は共鳴波長光に応答する原子の2準位系、光子の偏光状態、磁場に応答するスピン1/2の系等の一般的な量子力学における2状態系の記述に用いられる。 正規直交化された2状態を |1⟩, |2⟩ とすると、系の量子状態 |ψ(t)⟩ と密度行列 ^ρ は | ψ ( t ) ⟩ = c 1 ( t ) | 1 ⟩ + c 2 ( t ) | 2 ⟩ ( | c 1 ( t ) | 2 + | c 2 ( t ) | 2 = 1 ) {\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle \quad (|c_{1}(t)|^{2}+|c_{2}(t)|^{2}=1)} ρ ^ = | ψ ( t ) ⟩ ⟨ ψ ( t ) | = | c 1 | 2 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + c 1 c 2 ∗ | 1 ⟩ ⟨ 2 | + c 2 c 1 ∗ | 2 ⟩ ⟨ 1 | + | c 2 | 2 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {\rho }}=|\psi (t)\rangle \langle \psi (t)|=|c_{1}|^{2}|1\rangle \langle 1|+c_{1}c_{2}^{\,\ast }|1\rangle \langle 2|+c_{2}c_{1}^{\,\ast }|2\rangle \langle 1|+|c_{2}|^{2}|2\rangle \langle 2|} と表せる。このとき、恒等演算子とパウリ行列に対応する演算子 σ 0 ^ = | 1 ⟩ ⟨ 1 | + | 2 ⟩ ⟨ 2 | = I ^ {\displaystyle {\hat {\sigma _{0}}}=|1\rangle \langle 1|+|2\rangle \langle 2|={\hat {I}}} σ 1 ^ = | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | {\displaystyle {\hat {\sigma _{1}}}=|1\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 1|} σ 2 ^ = − i ( | 1 ⟩ ⟨ 2 | − | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) {\displaystyle {\hat {\sigma _{2}}}=-i(|1\rangle \langle 2|-|2\rangle \langle 1|)} σ 3 ^ = | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {\sigma _{3}}}=|1\rangle \langle 1|-|2\rangle \langle 2|} を導入すると、密度行列は ρ ^ = s 0 I ^ 2 + s 1 σ ^ 1 2 + s 2 σ ^ 2 2 + s 3 σ ^ 3 2 {\displaystyle {\hat {\rho }}=s_{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+s_{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+s_{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+s_{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}} と展開できる。但し、展開係数は s 0 = Tr ( ρ ^ ) = | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle s_{0}=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} s 1 = Tr ( σ ^ 1 ρ ^ ) = c 1 ∗ c 2 + c 2 ∗ c 1 {\displaystyle s_{1}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\rho }})=c_{1}^{\,\ast }c_{2}+c_{2}^{\,\ast }c_{1}} s 2 = Tr ( σ ^ 2 ρ ^ ) = i ( c 1 c 2 ∗ − c 2 c 1 ∗ ) {\displaystyle s_{2}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\rho }})=i(c_{1}c_{2}^{\,\ast }-c_{2}c_{1}^{\,\ast })} s 3 = Tr ( σ ^ 3 ρ ^ ) = | c 1 | 2 − | c 2 | 2 {\displaystyle s_{3}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}-|c_{2}|^{2}} で与えられる。ここで s → ( t ) = s 1 e 1 → + s 2 e 2 → + s 2 e 3 → {\displaystyle {\vec {s}}(t)=s_{1}{\vec {e_{1}}}+s_{2}{\vec {e_{2}}}+s_{2}{\vec {e_{3}}}} で定義される3次元単位ベクトルをブロッホベクトルといい、ブロッホベクトルがなす単位球面をブロッホ球という。 系のハミルトニアンを H ^ = ℏ Ω 0 I ^ 2 + ℏ Ω 1 σ ^ 1 2 + ℏ Ω 2 σ ^ 2 2 + ℏ Ω 3 σ ^ 3 2 = ℏ Ω 0 I ^ 2 + ℏ Ω → ( t ) ⋅ σ → ( t ) 2 {\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \Omega _{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+\hbar \Omega _{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+\hbar \Omega _{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+\hbar \Omega _{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}=\hbar \Omega _{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+\hbar {\vec {\Omega }}(t)\cdot {\frac {{\vec {\sigma }}(t)}{2}}} とすると、ブロッホベクトル s→(t) の時間発展は緩和項の無いブロッホ方程式 d d t s → ( t ) = Ω → ( t ) × s → ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {s}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\times {\vec {s}}(t)} で与えられる。こうした2状態系のブロッホ方程式による記述は、1957年にリチャード・ファインマンによって導入された。
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