超準解析による定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 04:41 UTC 版)
実数を拡大して超実数 R* (⊃ R) の体系の中で考えるとき、実函数 y = f(x) の実点 x における微分係数は（f の超実数への自然延長をやはり f と書くとき）、無限小 ∆x に対して ∆y = f(x+ ∆x) - f(x) とすれば、Δy の Δx に関する商 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}∆y/∆x の標準部（英語版） を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 ∆x の取り方に依らずに定まるとき、すなわち ∃ ! m ∈ R , ∀ Δ x ( Δ x ∈ monad ( 0 ) ∧ Δ x ≠ 0 ) , m = st ( f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x ) {\displaystyle \exists !m\in \mathbb {R} ,\forall {\mathit {\Delta x}}({\mathit {\Delta x}}\in \operatorname {monad} (0)\land {\mathit {\Delta x}}\neq 0),\;m=\operatorname {st} \!\left({\frac {f(a+{\mathit {\Delta x}})-f(a)}{\mathit {\Delta x}}}\right)} が成り立つとき、この実数 m を実函数 f の a における微分係数と呼ぶ。
※この「超準解析による定式化」の解説は、「微分」の解説の一部です。
「超準解析による定式化」を含む「微分」の記事については、「微分」の概要を参照ください。
超準解析による定式化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/21 17:50 UTC 版)
「積の微分法則」の記事における「超準解析による定式化」の解説
u, v は x の連続函数とし、dx, du, dv は超準解析の枠組みにおける無限小、特に超実数とする。標準部函数 st は有限超実数に対して無限に近い実数を割り当てるものとすれば、 d ( u v ) d x = st ( ( u + d u ) ( v + d v ) − u v d x ) = st ( u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d v ⋅ d u − u v d x ) = st ( u ⋅ d v + ( v + d v ) ⋅ d u d x ) = u d v d x + v d u d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{\mathit {dx}}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+{\mathit {du}})(v+{\mathit {dv}})-uv}{\mathit {dx}}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot {\mathit {dv}}+v\cdot {\mathit {du}}+{\mathit {dv}}\cdot {\mathit {du}}-uv}{\mathit {dx}}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot {\mathit {dv}}+(v+{\mathit {dv}})\cdot {\mathit {du}}}{\mathit {dx}}}\right)\\&={u}{\frac {\mathit {dv}}{\mathit {dx}}}+{v}{\frac {\mathit {du}}{\mathit {dx}}}\end{aligned}}} と計算できる。（このとき標準部分を取る代わりに）同質性の超限法則（英語版）を適用することを考えれば、これは本質的にライプニッツの証明である。
※この「超準解析による定式化」の解説は、「積の微分法則」の解説の一部です。
「超準解析による定式化」を含む「積の微分法則」の記事については、「積の微分法則」の概要を参照ください。
- 超準解析による定式化のページへのリンク
