豊饒函手
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 09:17 UTC 版)
豊饒函手 (enriched functor; 豊饒化された函手）は通常の函手の概念の豊饒圏に合わせて一般化した概念である。したがって、豊穣函手は豊饒圏の間の豊饒構造を保つ対応になっている。 C および D をモノイド圏 M に対する M-豊饒圏とするとき、M-豊饒函手 T: C → D とは C の各対象を D の対象に写し、各対 a, b ∈ ob(C) に対して C と D の射対象（それらは M の対象である）の間の M の射 Tab: C(a, b) → D(T(a), T(b)) が存在して、豊饒化された意味での函手の公理（つまり恒等射と合成を保つ）を満たすときに言う。 豊饒圏において射対象は集合とは限らないから、個々の射に関して言うことはできず、恒等射だとか具体的な二つの射の合成という概念を持ち出すわけにはいかないので、その代わりに恒等射を選択することと解釈できるモノイド単位対象から射対象への射と射の合成と解釈できるモノイド積からの射を考えるのであった。通常の函手の公理は、それと対応するいまいったような射を含む可換図式で置き換えられる。 より詳細に述べれば、一つは図式 が可換となることであり、これは等式で書けば T a a ∘ id a = id T ( a ) {\displaystyle T_{aa}\circ \operatorname {id} _{a}=\operatorname {id} _{T(a)}} と書ける。ただし I は M のモノイド単位対象である。これは通常の函手 F に対する条件 F(ida) = idF(a) に対応する。いま一つは、図式 が可換となることであり、これは通常の函数に対する条件 F(fg) = F(f)F(g) に対応する。
※この「豊饒函手」の解説は、「豊穣圏」の解説の一部です。
「豊饒函手」を含む「豊穣圏」の記事については、「豊穣圏」の概要を参照ください。
- 豊饒函手のページへのリンク
