試験函数にデルタ函数を用いることとは? わかりやすく解説

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試験函数にデルタ函数を用いること

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/07/17 06:34 UTC 版)

汎函数微分」の記事における「試験函数にデルタ函数を用いること」の解説

先の定義は任意の試験函数 f に対して満足される関係式基づいて与えられたものだったから、試験函数を特別の函数限ったとしてもその関係式満たされるはずだが、しかし選んだ函数ディラックデルタのようなのであるとすれば、それは試験函数として有効なものではない。 定義は、汎函数微分変動函数 φ(x) の小さな摂動に対して汎函数 F[φ(x)] の摂動がどの程度であるかを記述するのであることを言っているのであって、φ(x) における摂動特定の形であることを規定するものではないけれども、x が定義される区間の上引き延ばすようなものでなければいけない。摂動の形をデルタ函数与えられるものに限るということは変動函数 φ(x) が決められた点 y においてのみ変化することを意味するのであり、この点を除いては φ(x) は変動しない物理学で、ある量(例えば、位置 r1 における電位 V)の、別の量(例えば、位置 r2 における電荷密度 ρ)を変化させた時の影響どのようなものになるかを知りたいという場面よくある。この与えられ位置における電位電荷密度函数、即ち特定の密度函数空間内の点とが与えられればその点における電荷意味する数値密度函数使って計算することができる。この数値空間全ての点を亙ってどのように変化するのかを知りたいのだから、電位位置 r の函数として V ( r ) = F [ ρ ] = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}dr'} と扱う。つまり、各 r に対して電位 V(r) というのは、ρ(r′) を引数とする汎函数のである汎函数微分の定義に照らして、 ⟨ δ F [ ρ ] δ ρ ( r ′ ) , f ( r ′ ) ⟩ = d d ε 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ ) + ε f ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ | ε = 0 = 1 4 π ϵ 0 ∫ f ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ = ⟨ 1 4 π ϵ 0 | r − r ′ | , f ( r ′ ) ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}},f({\boldsymbol {r}}')\right\rangle &={\frac {d}{d\varepsilon }}\left.{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')+\varepsilon f({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}dr'\right|_{\varepsilon =0}\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {f({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} r'\\&=\left\langle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}},f({\boldsymbol {r}}')\right\rangle .\end{aligned}}} ゆえに δ V ( r ) δ ρ ( r ′ ) = 1 4 π ϵ 0 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {\delta V(r)}{\delta \rho (r')}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}|r-r'|}}} が成り立つ。いま、r = r1 および r′ = r2 における汎函数微分評価することができるから、r1 における電位が、r2 における電荷密度小さな変化影響受けてどのくらい変わるかを知ることができるが、一般に評価できない形の式のほうが恐らくは有用である。

※この「試験函数にデルタ函数を用いること」の解説は、「汎函数微分」の解説の一部です。
「試験函数にデルタ函数を用いること」を含む「汎函数微分」の記事については、「汎函数微分」の概要を参照ください。

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