計算例：台形公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/17 14:20 UTC 版)
例として、上記の常微分方程式に対し点 c1 = 0 と c2 = 1 を選ぶとしよう（よって n = 2）。近似解 p(t) は2次多項式であり、選点法による方程式 p ( t 0 ) = y 0 , {\displaystyle p(t_{0})=y_{0},\,} p ′ ( t 0 ) = f ( t 0 , p ( t 0 ) ) , {\displaystyle p'(t_{0})=f(t_{0},p(t_{0})),\,} p ′ ( t 0 + h ) = f ( t 0 + h , p ( t 0 + h ) ) {\displaystyle p'(t_{0}+h)=f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))\,} を満足する。計算を簡単にするために、p を以下の形で書く。 p ( t ) = α ( t − t 0 ) 2 + β ( t − t 0 ) + γ {\displaystyle p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,} 上記の方程式系を用いて未知の係数を解くと α = 1 2 h ( f ( t 0 + h , p ( t 0 + h ) ) − f ( t 0 , p ( t 0 ) ) ) , β = f ( t 0 , p ( t 0 ) ) , γ = y 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}\left(f(t_{0}+h,p(t_{0}+h))-f(t_{0},p(t_{0}))\right),\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}} であることがわかる。したがって対応する選点法は次の公式で（陰的に）与えられる。 y 1 = p ( t 0 + h ) = y 0 + 1 2 h ( f ( t 0 + h , y 1 ) + f ( t 0 , y 0 ) ) , {\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{0}+h,y_{1})+f(t_{0},y_{0})\right),\,} ここで、y1 = p(t0 + h) は t = t0 + h での近似解である。 この方法は微分方程式における台形公式として知られている。確かに、方程式を以下のように書き換えって（数値積分における）台形公式で近似することから上記の公式を導出することも可能である。 y ( t ) = y ( t 0 ) + ∫ t 0 t f ( τ , y ( τ ) ) d τ , {\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,{\textrm {d}}\tau ,\,}
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