代数幾何学
 | この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 (2011年12月) |
 | この記事は英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。（2024年5月） 翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。
|
代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）とは、多項式の零点（zero）のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である[1]。
概論
大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。
ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。
当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。
2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。
3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム[2]」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。
19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。
局所的性質
 | この節はフランス語版から大ざっぱに翻訳されたものであり、場合によっては不慣れな翻訳者や機械翻訳によって翻訳されたものかもしれません。 |
局所的問題についてきちんとした話題を与える前に、アフィン多様体における位相を定義する必要がある；もちろん、基礎体（仏: corps de base）が
微分幾何学で私たちがすることのようにする、しかしながら、圧倒的にアフィン多様体と局所的に似ていること更に多項式的な地図の（座標）変換における、位相空間のようなものである私たちの大域的な対象の定義を私たちはし辛くさせられる。しかしながら層におけるこれらの、私たちが選んだところの見方でのこの論点ではそうでない。私たちは、環
この項目は、代数幾何学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています。
| 国立図書館 | |
|---|---|
| その他 | |
