英語版よりの直訳
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:13 UTC 版)
上述のアルゴリズムは [ 1 1 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}} ような対角化不可能な行列については適用できない。このような行列に対しては、そのジョルダン分解を計算する必要があり、また上述のような対角成分の対数ではなく、ジョルダン細胞（英語版）の対数を計算することになる。 後者の作業については、ジョルダン細胞が B = [ λ 1 0 0 ⋯ 0 0 λ 1 0 ⋯ 0 0 0 λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 λ 1 0 0 0 0 0 λ ] = λ [ 1 λ − 1 0 0 ⋯ 0 0 1 λ − 1 0 ⋯ 0 0 0 1 λ − 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 1 λ − 1 0 0 0 0 0 1 ] = λ ( I + K ) {\displaystyle B={\begin{bmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{bmatrix}}=\lambda (I+K)} のような形に書き表せることに注意することで達成される。ここで、K は主対角成分およびその下がすべて 0 であるような行列である（数 λ が零でないことは、対数が取れるために行列は可逆とする仮定による）。 このとき、メルカトル級数（英語版） ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots } を用いれば ln B = ln ( λ ( I + K ) ) = ln ( λ I ) + ln ( I + K ) = ( ln λ ) I + K − K 2 2 + K 3 3 − K 4 4 + ⋯ {\displaystyle \ln B=\ln(\lambda (I+K))=\ln(\lambda I)+\ln(I+K)=(\ln \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots } を得る。一般には、この級数は任意の行列 K に対して収束するわけではない（絶対値が 1 より大きい任意の実数に対して収束しないのと同様）が、今の場合に限っては K は冪零行列であるから、実際には有限項しかない（K の次元が m なら Km は零行列である）。 このやり方で、例えば ln [ 1 1 0 1 ] = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle \ln \!{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}} を得る。
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