群ごとの平均値・不偏分散を統合する方法

統計学用語辞典

群ごとの平均値・不偏分散を統合する方法

例題：
　「表 1 のように，4 群のサンプル数，平均値，標準偏差（不偏分散の平方根）が計算されている。これから，全体の（4 群をこみにした）平均値，標準偏差を求めなさい。」

表 1．47 都道府県における癌死亡率

	都道府県数	平均値	標準偏差
第1群	8	135.83	19.59
第2群	11	160.49	12.28
第3群	22	178.35	15.01
第4群	6	188.06	9.81

計算手順:

1. 群の数が k の場合に，群ごとの有効ケース数 ni，平均値 ，不偏分散 Ui（i=1，2，... ，k）が求められているとする。定義式は以下の通り。
   
   
   
2. 全群をこみにした有効ケース数 nt は，次式で求められる。
   
   例題では，nt = 8 + 11 + 22 + 6 = 47
   
3. 全群をこみにした平均値 は，次式で求められる。
   
   例題では， = ( 8・135.83 + 11・160.49 + 22・178.35 + 6・188.06 ) / 47 ≒ 168.17212
   
4. 全群をこみにした不偏分散 Ut は，次式で求められる。
   
   表 1 には標準偏差が与えられていることに注意して，例題では Ut = { 7・19.59² + 10・12.28² + 21・15.01² + 5・9.81² + 8・( 135.83 - 168.17212)² + 11・( 160.49 - 168.17212)² + 22・( 178.35 - 168.17212)² + 6・( 188.06 - 168.17212)² } / 46 = 501.657385
   よって，全群をこみにしたときの標準偏差は 501.657385 の平方根をとって 22.3977094 である。

R による計算例

> n <- c(8, 11, 22, 6)
> M <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06)
> SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81)
> U <- SD^2
> nt <- sum(n)
> Mt <- sum(n*M)/nt
> Ut <- (sum((n-1)*U)+sum(n*(M-Mt)^2))/(nt-1)
> SDt <- sqrt(Ut)
> cat(nt, Mt, Ut, SDt, sep=", ")
47, 168.1721, 501.6574, 22.39771

関数にすると
> func <- function(n, M, U)
+ {
+ 	nt <- sum(n)
+ 	Mt <- sum(n*M)/nt
+ 	Ut <- (sum((n-1)*U)+sum(n*(M-Mt)^2))/(nt-1)
+ 	SDt <- sqrt(Ut)
+ 	cat(nt, Mt, Ut, SDt, sep=", ")
+ }
> n <- c(8, 11, 22, 6)
> M <- c(135.83, 160.49, 178.35, 188.06)
> SD <- c(19.59, 12.28, 15.01, 9.81)
> func(n, M, SD^2)
47, 168.1721, 501.6574, 22.39771