繰り返しの変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 00:40 UTC 版)
「メビウスの反転公式」の記事における「繰り返しの変換」の解説
数論的関数が与えられると、最初の総和を繰り返し適用することによって他の数論的関数の両側無限列を生成することができる。 例えば、オイラーのトーシェント関数 φ {\displaystyle \varphi } に対して変換を繰り返し適用していくと φ , {\displaystyle \varphi ,} トーシェント関数 φ ∗ 1 = Id , {\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} ,} 恒等写像 Id ∗ 1 = σ 1 = σ , {\displaystyle \operatorname {Id} *1=\sigma _{1}=\sigma ,} 約数関数 メビウスの関数自身から始めると、 μ , {\displaystyle \mu ,} メビウス関数 μ ∗ 1 = ε , {\displaystyle \mu *1=\varepsilon ,} ただし ε ( n ) = { 1 , if n = 1 0 , if n > 1 {\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n=1\\0,&{\mbox{if }}n>1\end{cases}}} は unit function（英語版） ε ∗ 1 = 1 , {\displaystyle \varepsilon *1=1,} 定値写像 1 ∗ 1 = σ 0 = d = τ , {\displaystyle 1*1=\sigma _{0}=\operatorname {d} =\tau ,} ただし d = τ {\displaystyle \operatorname {d} =\tau } は n の約数の個数（約数関数参照） これらのリストのいずれも、両方向に無限に伸びる。メビウスの反転公式によって逆向きに行くことができる。 例として、 φ {\displaystyle \varphi } で始まる列は： f n = { μ ∗ … ∗ μ ⏟ − n factors ∗ φ if n < 0 φ if n = 0 φ ∗ 1 ∗ … ∗ 1 ⏟ n factors if n > 0 {\displaystyle f_{n}={\begin{cases}\underbrace {\mu *\ldots *\mu } _{-n{\text{ factors}}}*\varphi &{\text{if }}n<0\\\varphi &{\text{if }}n=0\\\varphi *\underbrace {1*\ldots *1} _{n{\text{ factors}}}&{\text{if }}n>0\end{cases}}} 生成される列は、対応するディリクレ級数を考えることによってより容易に理解できるかもしれない。各変換はリーマンのゼータ関数を掛けることに対応する。
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