立体角を用いた解析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/21 16:53 UTC 版)
「ビオ・サバールの法則」の記事における「立体角を用いた解析」の解説
以下のようにしてもビオ・サバールの法則からアンペールの法則が成り立つことを示すことができる。 閉回路C1上の点Pから回路C2を俯瞰する立体角を Ω とする。ここで回路C1上を点Pから微小距離 ds だけ移動した点をP′とすると、点P′から回路C2を俯瞰する立体角Ω+dΩ は、−ds だけ平行移動された回路を俯瞰する立体角と等しい。 このとき、回路上の微小長さ ds′ と平行移動した微小距離 −ds によって作られる面の面素ベクトル dS は d S = d s ′ × ( − d s ) = d s × d s ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-\mathrm {d} {\boldsymbol {s}})=\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}} であるが、点Pから回路上の微小長さ ds′ へ向かうベクトルを r とすると、点Pから面素 dS を見る立体角は d S ⋅ r r 3 = ( d s × d s ′ ) ⋅ r r 3 = ( d s ′ × r ) r 3 ⋅ d s {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}={\frac {(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}})\cdot {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}={\frac {(\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times {\boldsymbol {r}})}{r^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} と表すことができる。これを ds′ に関して回路一周分線積分すれば立体角の変化dΩを得ることができる。 d Ω = ( ∮ C 2 d s ′ × r r 3 ) ⋅ d s {\displaystyle \mathrm {d} \Omega \ =\left(\oint _{C_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} 回路上の微小電流要素が点Pに作る磁場はビオ・サバールの法則を積分して、 H = ∮ C 2 1 4 π I d s ′ × ( − r ) r 3 {\displaystyle {\boldsymbol {H}}=\oint _{C_{2}}{\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-{\boldsymbol {r}})}{r^{3}}}} と得られるが、この両辺に ds を内積で乗じ、先の式を代入すると H ⋅ d s = − I 4 π d Ω {\displaystyle {\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=-{\frac {I}{4\pi }}\mathrm {d} \Omega } の関係が得られる。点Pが閉曲線C1上を一周するようなΩの変化は ∮ C 1 d Ω = − 4 π {\displaystyle \oint _{C_{1}}\mathrm {d} \Omega =-4\pi } であるので、 ∮ C 1 H ⋅ d s = I {\displaystyle \oint _{C_{1}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=I} とする、アンペールの法則そのものが導かれる。 この場合、C1で囲む領域 D（図赤色）の面積を S1とすると、面S1に対する電流面密度の大きさj は j = I S 1 {\displaystyle j={\frac {I}{S_{1}}}} となるが、例えば閉曲線C1が1周する間に回路C2が3周するような場合には電流面密度の大きさは 3j 、閉曲線C1が2周する間に回路C2が1周するような場合には電流面密度の大きさは j/2 である。このことを考慮すれば、 ∮ C 1 H ⋅ d s = ∫ D j ⋅ d S 1 {\displaystyle \oint _{C_{1}}{\boldsymbol {H}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{D}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S_{1}}}} と書くことができる。
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