窓関数の意味
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 21:38 UTC 版)
フーリエ変換は、区分的に C 1 {\displaystyle C^{1}\,} 級な任意の関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} を、三角関数（あるいは指数関数）の線形結合で表す。なお、 f {\displaystyle f\,} のフーリエ変換を F f {\displaystyle {\mathfrak {F}}f} で表す。 フーリエ変換では、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} も三角関数も、無限区間 ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} で定義されている。しかし、実データを数値的にフーリエ変換するなら、無限の長さは扱えないので、有限区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,} でフーリエ変換をおこない、区間外は無視することになる。これは、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} を区間外で0とみなすことに等しい（「区間内のデータを周期的に繰り返す」という表現をすることもあるが、DFT（離散フーリエ変換）の場合はこの2つは等価である）。 つまり、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} と関数 w ( x ) = { 1 , if a ≤ x ≤ b 0 , otherwise {\displaystyle w(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}a\leq x\leq b\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} の積 ( w f ) ( x ) = w ( x ) f ( x ) {\displaystyle (wf)(x)=w(x)f(x)\,} を求め、そのフーリエ変換 F ( w f ) {\displaystyle {\mathfrak {F}}(wf)} を、 F f {\displaystyle {\mathfrak {F}}f} の代わりに得ていることになる。このとき掛け合わせた関数 w ( x ) {\displaystyle w(x)\,} が窓関数である。 ここで定義した窓関数 w ( x ) {\displaystyle w(x)\,} （矩形窓という）でなくても、有限区間外が0で区間内が有界な関数ならば、窓関数として使える。そこで、さまざまな窓関数が考案されている。実際、上の矩形窓はあまり性能がよくない。それは、 x = a , b {\displaystyle x=a,b\,} にいちじるしい不連続があるからである。実際に使われる窓関数のほとんどは、両端が滑らかに小さくなり区間外の0につながる、山形の関数である。
※この「窓関数の意味」の解説は、「窓関数」の解説の一部です。
「窓関数の意味」を含む「窓関数」の記事については、「窓関数」の概要を参照ください。
- 窓関数の意味のページへのリンク
