直線束のリーマン・ロッホの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:15 UTC 版)
「リーマン・ロッホの定理」の記事における「直線束のリーマン・ロッホの定理」の解説
リーマン面上の因子と正則直線束の間の密接な対応関係を使い、異なってはいるが同値な方法で述べることもできる。L を X 上の正則直線束とする。 H 0 ( X , L ) {\displaystyle H^{0}(X,L)} で L の正則切断の空間を表すとする。この空間は有限次元となるので、この空間の次元を h 0 ( X , L ) {\displaystyle h^{0}(X,L)} で表すとする。K で X 上の標準バンドルを表す。すると、リーマン・ロッホの定理は、次のように記述できる。 h 0 ( X , L ) − h 0 ( X , L − 1 ⊗ K ) = deg ( L ) + 1 − g . {\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.} 前の章の定理は、L がポイントバンドル（英語版）のときの特別な場合である。定理は K の g 正則切断や X 上の1-形式が存在していること示すことにも適用できる。L を自明バンドルとすると、X 上の唯一の正則関数は定数関数であるので、 h 0 ( X , L ) = 1 {\displaystyle h^{0}(X,L)=1} である。L の次数はゼロで、 L − 1 {\displaystyle L^{-1}} は自明バンドルである。このようにして次が得られる。 1 − h 0 ( X , K ) = 1 − g . {\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g.} したがって、 h 0 ( X , K ) = g {\displaystyle h^{0}(X,K)=g} であり、g 正則 1-形式が存在することを証明したこととなる。
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