物質場との結合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/19 08:00 UTC 版)
「フィールツ・パウリ理論」の記事における「物質場との結合」の解説
物質場が存在する場合、一般相対論の場合と同様にFierz-Pauli場は物質場とそのエネルギー・運動量テンソル T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} を通じて結合する。 S m a t = κ ~ 2 ∫ d 4 x h μ ν T μ ν {\displaystyle S_{\mathrm {mat} }={\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\int d^{4}x\,h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }} ここに κ ~ {\displaystyle {\tilde {\kappa }}} は結合定数である。対応して、Fierz-Pauli場の運動方程式には右辺に物質場に対応するソース項が生じることになる。 このとき、物質場に関するエネルギー・運動量保存則 ∂ μ T μ ν = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }=0} のために運動方程式からtransverse条件 ∂ μ h μ ν − ∂ ν h = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h=0} が得られるものの、場のトレース h {\displaystyle h} はゼロではなく、エネルギー・運動量テンソルからそれを代数的に定める関係式 − 3 m 2 h = κ 2 T {\displaystyle -3m^{2}h={\frac {\kappa }{2}}T} が導かれる。このとき、Fierz-Pauli場の運動方程式は ( ◻ − m g 2 ) h μ ν = − κ ~ 2 ( T μ ν − 1 3 η μ ν T + 1 3 m g 2 ∂ μ ∂ ν T ) {\displaystyle (\Box -m_{g}^{2})h_{\mu \nu }=-{\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }T+{\frac {1}{3m_{g}^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }T\right)} と書き直すことができ、右辺をまとめて S μ ν {\displaystyle S_{\mu \nu }} と置くと、クライン-ゴルドン方程式のグリーン関数 Δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \Delta (x-x')} を用いた解の表示 h μ ν ( x ) = ∫ d 4 x ′ Δ ( x − x ′ ) S μ ν ( x ′ ) {\displaystyle h_{\mu \nu }(x)=\int d^{4}x'\,\Delta (x-x')S_{\mu \nu }(x')} を与えることができる。
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