物理学的な導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 10:07 UTC 版)
質量 m の物体を斜めに投射するとき、投げ出されたあとの物体に掛かる力は、空気抵抗の存在しない理想的な状況下では下向きに掛かる重力 mg のみ（g は重力加速度）である。したがって、運動方程式 F = maから、物体の加速度は a = ( a x , a y ) = d 2 x d t 2 = ( d 2 x d t 2 , d 2 y d t 2 ) = ( 0 , − g ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}=\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)=(0,-g)} となる。初速が v0 = (vx(0), vy(0)) = (v0 cos θ, v0 sin θ) (v = |v|) であるならば、積分して v = ( v x , v y ) = d x d t = ( v x ( 0 ) + ∫ 0 t 0 d t , v y ( 0 ) + ∫ 0 t ( − g ) d t ) = ( v 0 cos θ , v 0 sin θ − g t ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\left(v_{x}(0)+\textstyle \int _{0}^{t}0\,dt,v_{y}(0)+\textstyle \int _{0}^{t}(-g)\,dt\right)=(v_{0}\cos \theta ,v_{0}\sin \theta -gt)} となり、初期位置を x0 = (0, y0) にとると、さらに積分して x = ( x , y ) = ( 0 + ∫ 0 t v x d t , y 0 + ∫ 0 t v y d t ) = ( v 0 t cos θ , y 0 + v 0 t sin θ − g t 2 / 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)=\left(0+\textstyle \int _{0}^{t}v_{x}dt,y_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}v_{y}dt\right)=(v_{0}t\cos \theta ,y_{0}+v_{0}t\sin \theta -gt^{2}/2)} が時刻 t における物体の位置である。t を消去すれば、適当な定数 a, b, c によって y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} の形に書くことができる。
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