物理学的背景
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/13 04:12 UTC 版)
「ウェブスターのホルン方程式」の記事における「物理学的背景」の解説
ウェブスターのホルン方程式は以下の流体力学的な考察によって導出される。断面 x {\displaystyle x} および x + Δ x {\displaystyle x+\Delta x} によって囲まれる体積 Δ V = S ( x ) Δ x {\displaystyle \Delta V=S(x)\Delta x} の領域について、時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} におけるこの領域の質量の変化分は、断面 S ( x ) {\displaystyle S(x)} からの流入量と断面 S ( x + Δ x ) {\displaystyle S(x+\Delta x)} からの流出量の差し引き S ( x ) ρ ( x ) v ( x ) Δ t − S ( x + Δ x ) ρ ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) Δ t = − ∂ ( S ρ v ) ∂ x Δ x Δ t {\displaystyle S(x)\rho (x)v(x)\Delta t-S(x+\Delta x)\rho (x+\Delta x)v(x+\Delta x)\Delta t=-{\frac {\partial (S\rho v)}{\partial x}}\Delta x\Delta t} により与えられる。これを問題の領域の密度の増分による質量変化 ∂ ρ ∂ t S Δ x Δ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}S\Delta x\Delta t} と等置することにより、非一様な断面を持つ気柱における連続の方程式 ∂ ρ ∂ t + 1 S ∂ ( S ρ v ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {1}{S}}{\frac {\partial (S\rho v)}{\partial x}}=0} が導かれる。これとオイラー方程式を連立し音圧 p {\displaystyle p} に関して整理することによりウェブスターのホルン方程式が得られる。
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