照度、光束のピーク値との関連
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/19 14:44 UTC 版)
「ランベルトの余弦則」の記事における「照度、光束のピーク値との関連」の解説
一般的には、ある面の一点における発光強度は方向により異なる。ランベルト面においては、その分布は法線における照度のピーク値における余弦則により定義される。こうして、ランベルト面を前提として、全光束 F t o t {\displaystyle F_{tot}} 発光強度のピーク値 I m a x {\displaystyle I_{max}} を用いて、余弦則により F t o t = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π cos ( θ ) I m a x sin ( θ ) d ϕ d θ {\displaystyle F_{tot}=\int \limits _{0}^{\pi /2}\,\int \limits _{0}^{2\pi }\cos(\theta )I_{max}\,\sin(\theta )\,\operatorname {d} \phi \,\operatorname {d} \theta } = 2 π ⋅ I m a x ∫ 0 π / 2 cos ( θ ) sin ( θ ) d θ {\displaystyle =2\pi \cdot I_{max}\int \limits _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,\operatorname {d} \theta } = 2 π ⋅ I m a x ∫ 0 π / 2 sin ( 2 θ ) 2 d θ {\displaystyle =2\pi \cdot I_{max}\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,\operatorname {d} \theta } よって F t o t = π s r ⋅ I m a x {\displaystyle F_{tot}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{max}} ここで、 sin ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} は単位球に対するヤコビ行列の行列式であり、 I m a x {\displaystyle I_{max}} はステラジアンあたりの光束であることがわかる。 同様に、ピーク強度が 1 / ( π s r ) {\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )} の放射光束となる。 ランベルト面では、同じ要素 π s r {\displaystyle \pi \,\mathrm {sr} } が輝度と発行照度と関係し、放射強度は放射束と関連する。ラジアンとステラジアンは無次元数であり、"rad"と"sr"は明確化のため含まれている。 例: 100 cd/m2 (=100ニト、一般的なPC用モニター) の輝度を持つ面は、完全なランベルト面であれば、放射強度は314 lm/m2となる。面積が0.1 m2 (～19インチ以下のモニター) である場合、放射される光の総量すなわち光束は、31.4 lmとなる。
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