擾乱項が正規分布に従うモデルとは? わかりやすく解説

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擾乱項が正規分布に従うモデル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/06/06 07:43 UTC 版)

線形回帰」の記事における「擾乱項が正規分布に従うモデル」の解説

以下では擾乱項εiが互いに独立平均 0 {\displaystyle 0} , 分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} の正規分布に従うと仮定する残差は、観測値モデルによる予測値の差を表し、以下のように決定される。 ε → ^ = y → − X β ^   {\displaystyle {\hat {\vec {\varepsilon }}}={\vec {y}}-\mathbf {X} {\hat {\beta }}\ } この時、統計量 S 2 = ε → ^ ⊤ ε → ^ n − p − 1 {\displaystyle S^{2}={\frac {{\hat {\vec {\varepsilon }}}{\;}^{\top }{\hat {\vec {\varepsilon }}}}{n-p-1}}} は分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} の不偏推定量( E [ S 2 ] = σ 2 {\displaystyle E[S^{2}]=\sigma ^{2}} )になる。また、最小二乗推定量 β ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}} と統計量 S 2 {\displaystyle S^{2}} について以下が成立することが知られている。証明久保川(2017)や解説記事が詳しい。 β ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}} は多次元正規分布 N ( β , σ 2 ( X ⊤ X ) − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}\left(\beta ,\sigma ^{2}({\boldsymbol {X}}^{\top }{\boldsymbol {X}})^{-1}\right)} に従う ( N − P − 1 ) S 2 σ 2 {\displaystyle {\frac {(N-P-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}} は自由度 n − p − 1 {\displaystyle n-p-1} の χ n − p − 1 2 {\displaystyle \chi _{n-p-1}^{2}} 分布に従う β ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}} と S 2 {\displaystyle S^{2}} は独立 上記事実をもとに回帰係数の有意性検定信頼区間予測区間構成できる。

※この「擾乱項が正規分布に従うモデル」の解説は、「線形回帰」の解説の一部です。
「擾乱項が正規分布に従うモデル」を含む「線形回帰」の記事については、「線形回帰」の概要を参照ください。

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