擾乱項が正規分布に従うモデル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/06 07:43 UTC 版)
「線形回帰」の記事における「擾乱項が正規分布に従うモデル」の解説
以下では擾乱項εiが互いに独立な平均 0 {\displaystyle 0} , 分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} の正規分布に従うと仮定する。 残差は、観測値とモデルによる予測値の差を表し、以下のように決定される。 ε → ^ = y → − X β ^ {\displaystyle {\hat {\vec {\varepsilon }}}={\vec {y}}-\mathbf {X} {\hat {\beta }}\ } この時、統計量 S 2 = ε → ^ ⊤ ε → ^ n − p − 1 {\displaystyle S^{2}={\frac {{\hat {\vec {\varepsilon }}}{\;}^{\top }{\hat {\vec {\varepsilon }}}}{n-p-1}}} は分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} の不偏推定量（ E [ S 2 ] = σ 2 {\displaystyle E[S^{2}]=\sigma ^{2}} ）になる。また、最小二乗推定量 β ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}} と統計量 S 2 {\displaystyle S^{2}} について以下が成立することが知られている。証明は久保川(2017)や解説記事が詳しい。 β ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}} は多次元正規分布 N ( β , σ 2 ( X ⊤ X ) − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}\left(\beta ,\sigma ^{2}({\boldsymbol {X}}^{\top }{\boldsymbol {X}})^{-1}\right)} に従う ( N − P − 1 ) S 2 σ 2 {\displaystyle {\frac {(N-P-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}} は自由度 n − p − 1 {\displaystyle n-p-1} の χ n − p − 1 2 {\displaystyle \chi _{n-p-1}^{2}} 分布に従う β ^ {\displaystyle {\widehat {\beta }}} と S 2 {\displaystyle S^{2}} は独立 上記の事実をもとに回帰係数の有意性検定、信頼区間や予測区間を構成できる。
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