指数・対数・冪函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 07:36 UTC 版)
四元数 q = a + b i + c j + d k = a + v {\displaystyle q=a+bi+cj+dk=a+\mathbf {v} } に対して、指数函数は exp ( q ) = ∑ n = 0 ∞ q n n ! = e a ( cos ‖ v ‖ + v ‖ v ‖ sin ‖ v ‖ ) {\displaystyle \exp(q)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)} と計算され、その逆函数として対数函数は ln ( q ) = ln ‖ q ‖ + v ‖ v ‖ cos − 1 a ‖ q ‖ {\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\cos ^{-1}{\frac {a}{\|q\|}}} として与えられる。これを用いて、四元数の極分解を q = ‖ q ‖ e n ^ θ {\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\theta }} の形に書くことができる。ここで角 θ および単位ベクトル n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} は a = ‖ q ‖ cos θ {\displaystyle a=\|q\|\cos \theta } および v = n ^ ‖ v ‖ = n ^ ‖ q ‖ sin θ {\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin \theta } で定まるものである。任意の単位四元数は極形式として e n ^ θ {\displaystyle e^{{\hat {n}}\theta }} と表される。 任意の実数を冪指数とする四元数の冪は q α = ‖ q ‖ α e n ^ α θ {\displaystyle q^{\alpha }=\|q\|^{\alpha }e^{{\hat {n}}\alpha \theta }} で与えられる。
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