投影の表式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/25 03:53 UTC 版)
「ランベルト正積円錐図法」の記事における「投影の表式」の解説
以下では地球を赤道半径 a 、離心率 e の扁球回転楕円体として説明する。 座標原点を扇形の頂点に相当する投影点にとり、当該原点から赤道へ向かう方向を正方向とした中央経線をX軸に設定し、当該中央経線の経度をλ0 とするとき、標準緯度 φs に対して、緯度 φ、経度 λ の点を x = r ( φ ) cos k ( λ − λ 0 ) , y = r ( φ ) sin k ( λ − λ 0 ) {\displaystyle x=r(\varphi )\cos k(\lambda -\lambda _{0}),\quad y=r(\varphi )\sin k(\lambda -\lambda _{0})} r ( φ ) = S ( π / 2 ) − S ( φ ) k π {\displaystyle r(\varphi )={\sqrt {\frac {S(\pi /2)-S(\varphi )}{k\pi }}}} に投影する。ただし、 k = ( N φ s cos φ s ) 2 S ( π / 2 ) − S ( φ s ) π {\displaystyle k={\frac {\left(N_{\varphi _{s}}\cos \varphi _{s}\right)^{2}}{S(\pi /2)-S(\varphi _{s})}}\pi } S ( φ ) = 2 π ∫ 0 φ M θ N θ cos θ d θ = π a 2 ( 1 e − e ) { e sin φ 1 − ( e sin φ ) 2 + tanh − 1 ( e sin φ ) } {\displaystyle S(\varphi )=2\pi \int _{0}^{\varphi }M_{\theta }N_{\theta }\cos \theta {\mathrm {d} }\theta =\pi a^{2}\left({\frac {1}{e}}-e\right)\left\{{\frac {e\sin \varphi }{1-(e\sin \varphi )^{2}}}+\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right\}} （赤道と緯度 φ の平行圏に挟まれた緯度帯の面積） であり、 M φ = a ( 1 − e 2 ) ( 1 − e 2 sin 2 φ ) 3 / 2 {\displaystyle M_{\varphi }={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{3/2}}}} 及び N φ = a 1 − e 2 sin 2 φ {\displaystyle N_{\varphi }={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}} は、それぞれ緯度 φ に対する子午線曲率半径及び卯酉線曲率半径である。 k = 1 {\displaystyle k=1} の場合がランベルト正積方位図法に相当する表式となる。
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