扁平対称こま分子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 09:21 UTC 版)
扁平対称こま分子の回転定数は、 I⊥ = IA = IB < IC = I∥ なので、 A = B > C である。よって外力が働かないときの扁平対称こま分子の回転運動のハミルトニアン演算子は H ^ = 2 π ℏ B L ^ 2 + 2 π ℏ ( C − B ) L ^ c 2 {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {2\pi }{\hbar }}B{\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}+{\frac {2\pi }{\hbar }}(C-B){\hat {L}}_{c}^{2}} と表され、シュレーディンガー方程式は ( 2 π ℏ B L ^ 2 + 2 π ℏ ( C − B ) L ^ c 2 ) Ψ ( α , β , γ ) = E Ψ ( α , β , γ ) {\displaystyle \left({\frac {2\pi }{\hbar }}B{\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}+{\frac {2\pi }{\hbar }}(C-B){\hat {L}}_{c}^{2}\right)\Psi (\alpha ,\beta ,\gamma )=E\Psi (\alpha ,\beta ,\gamma )} となる。角運動量演算子 L ^ a {\displaystyle {\hat {L}}_{a}} , L ^ b {\displaystyle {\hat {L}}_{b}} , L ^ c {\displaystyle {\hat {L}}_{c}} から L ^ 2 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}} を計算すると − 1 ℏ 2 L ^ 2 = 1 sin β ∂ ∂ β ( sin β ∂ ∂ β ) + 1 sin 2 β ( ∂ 2 ∂ α 2 + ∂ 2 ∂ γ 2 ) − 2 cos β sin 2 β ∂ 2 ∂ α ∂ γ {\displaystyle \ -{\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}={\frac {1}{\sin \beta }}{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left(\sin \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}\right)-{\frac {2\cos \beta }{\sin ^{2}\beta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}} となり、量子数 J, mJ, K で表される状態の波動関数を ΨmJJK(α, β, γ) とすると、二原子分子のときと同じように L ^ 2 Ψ J K m J ( α , β , γ ) = J ( J + 1 ) ℏ 2 Ψ J K m J ( α , β , γ ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}\Psi _{JK}^{m_{J}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=J(J+1)\hbar ^{2}\Psi _{JK}^{m_{J}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} となる。また、空間に固定されたz軸まわりの角運動量と分子の対称軸まわりの角運動量はそれぞれ L ^ z Ψ J K m J ( α , β , γ ) = m J ℏ Ψ J K m J ( α , β , γ ) , L ^ c Ψ J K m J ( α , β , γ ) = K ℏ Ψ J K m J ( α , β , γ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\Psi _{JK}^{m_{J}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=m_{J}\hbar \Psi _{JK}^{m_{J}}(\alpha ,\beta ,\gamma ),\qquad {\hat {L}}_{c}\Psi _{JK}^{m_{J}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=K\hbar \Psi _{JK}^{m_{J}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} となる。よって、外力が働かないときの扁平対称こま分子の回転準位は E = h B J ( J + 1 ) + h ( C − B ) K 2 , J = 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ , K = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ , ± ( J − 1 ) , ± J {\displaystyle E=hBJ(J+1)+h(C-B)K^{2},\qquad J=0,1,2,3,\cdots ,\qquad K=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\pm (J-1),\pm J} となる。二原子分子と同様に、回転準位は mJ に依らないので、K = 0 の準位は 2J + 1 重に縮退している。また回転準位は K の符号にも依らないので、K ≠ 0 の準位は 2(2J + 1) 重に縮退している。扁平対称こま分子では C < B なので、角運動量の大きさ J が同じ回転状態であっても、K が大きいほどエネルギーは低くなる。つまり、J が同じなら回転軸が対称軸に近づくほど回転エネルギーが小さくなる。
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