定常過程

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定常過程

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/02/25 14:10 UTC 版)

定常過程 （ていじょうかてい、（英: stationary process）は時間や位置によって確率分布が変化しない確率過程である。

概要

定常過程では平均や分散も（もしあれば）時間や位置によって変化しない。例えば、ホワイトノイズは定常的である。しかし、シンバルを鳴らしたときの音は定常的ではなく、時間と共に音が弱まっていく。

定常性（Stationarity）は時系列の解析でも重要であり、時系列データを定常的なものに変換することがよく行われる。例えば、経済的データは季節による変動があったり、価格レベルに依存する。ある定常過程と1つ以上の過程に傾向（トレンド）が認められるとき、これら過程を「傾向定常的; trend stationary」であるという。このようなデータから定常的成分だけを抜き出して分析することを「傾向除去; de-trending」と呼ぶ。

離散時間の定常過程で、標本値も離散的（とりうる値が N 個に限定されている）な場合をベルヌーイ系（Bernoulli scheme）と呼ぶ。N = 2 の場合を特にベルヌーイ過程（Bernoulli process）と呼ぶ。

弱い定常性

弱い定常性 （よわいていじょうせい、（英: weak-sense stationarity）は「平均と分散が時刻に依存しない」という確率過程の性質である。 広義定常性 （こうぎていじょうせい、（英: wide-sense stationarity）、 共分散定常性 （きょうぶんさんていじょうせい、（英: covariance stationarity）とも。

弱い定常性は確率過程の各時刻における期待値が時刻に依存せず、かつ、相関関数が時間差のみに依存するという条件で定義付けられる（⇒ #弱い定常性の定義、#弱い定常性の解釈）。

弱い定常性をもつ無作為信号を線型で時不変な（LTI）フィルタで処理するとき、相関関数を線型写像と考える。2つの引数の差にのみ依存するため、それは巡回演算子であり、その固有関数はフーリエ複素指数である。さらに、LTI演算子の固有関数も複素指数であり、弱い定常性をもつ無作為信号のLTI処理は非常に扱いやすい。全ての計算は周波数領域で実行できる。このため、弱い定常性仮定は信号処理アルゴリズムによく使われている。平均と共分散のある狭義の定常過程も弱い定常性をもつ。

弱い定常性の定義

弱い定常性の定義にあたり、以下のように記号を置く：

• 時刻 $t$ カテゴリ