外微分との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 21:23 UTC 版)
「発散 (ベクトル解析)」の記事における「外微分との関係」の解説
発散を外微分の特定の場合として表すことができて、これは R3 内の 2-形式を 3-形式へ写す。流れの 2-形式を j = F 1 d y ∧ d z + F 2 d z ∧ d x + F 3 d x ∧ d y {\displaystyle j=F_{1}\ dy\wedge dz+F_{2}\ dz\wedge dx+F_{3}\ dx\wedge dy} とする。これは局所速度 F で運動する「流束要素」密度 ("stuff fluid" of density) ρ = 1 d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \rho =1dx\wedge dy\wedge dz} の中で単位時間当たりにその面を通過する「要素」の量を測るものになっている。この j の外微分 dj は d j = ( ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z ) d x ∧ d y ∧ d z = ( ∇ ⋅ F ) ρ {\displaystyle dj=\left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz=(\nabla \cdot \mathbf {F} )\rho } で与えられる。従ってベクトル場 F の発散は、 ∇ ⋅ F = ⋆ d ⋆ F ♭ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\mathop {{}\star } \mathbf {d} \mathop {{}\star } \mathbf {F} ^{\flat }} と表すことができる。ここで上付きの ♭ は下げ同型（英語版）で、 ⋆ {\displaystyle \star } はホッジスターである。しかし、外微分は（曲線）座標系の変換と可換だが発散はそうではないので、流れ 2-形式自体を外微分とともに扱うほうが、ベクトル場と発散を扱うよりも容易であることに注意。
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