外心の位置
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/20 03:44 UTC 版)
外心を三線座標で表すと、 ( cos ( α ) , cos ( β ) , cos ( γ ) ) {\displaystyle \left(\cos(\alpha ),\cos(\beta ),\cos(\gamma )\right)} となる:19。ここで、α,β,γ は3つの角の大きさとする。重心座標で表すと、 ( sin ( 2 α ) , sin ( 2 β ) , sin ( 2 γ ) ) {\displaystyle \left(\sin(2\alpha ),\sin(2\beta ),\sin(2\gamma )\right)} 又は ( a 2 ( − a 2 + b 2 + c 2 ) , b 2 ( a 2 − b 2 + c 2 ) , c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) ) {\displaystyle \left(a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}),\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}),\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right)} となる。 a , b , c {\displaystyle a,b,c} は3つの辺の長さである。 各頂点の位置ベクトルを A , B , C {\displaystyle A,B,C} 、対辺の長さを a , b , c {\displaystyle a,b,c} とすると、外心の位置ベクトル U {\displaystyle U} は次式で表される。 U = a 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) A + b 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) B + c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) C a 2 ( b 2 + c 2 − a 2 ) + b 2 ( c 2 + a 2 − b 2 ) + c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) . {\displaystyle U={\frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.} この式の分母は、三角形の面積を S {\displaystyle S} とすると、 16 S 2 {\displaystyle 16S^{2}} に等しい。
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