垂直なベクトルに対するベルヌーイの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 05:09 UTC 版)
「力の平行四辺形」の記事における「垂直なベクトルに対するベルヌーイの証明」の解説
力をユークリッドベクトルもしくは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} に対して、 F ⊕ G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} が存在する。最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。 R : R 2 → R 2 {\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} を任意の回転（ det R = 1 {\displaystyle \det R=1} である R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の通常のベクトル空間構造の任意の直交写像）とすると、任意の力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} に対し R {\displaystyle R} は R ( F ⊕ G ) = R ( F ) ⊕ R ( G ) {\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)} を満たす。2つの力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} は垂直で、 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} の長さを a {\displaystyle a} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} の長さを b {\displaystyle b} 、および F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の長さを x {\displaystyle x} と仮定する。 G 1 := a 2 x 2 ( F 1 ⊕ F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)} および G 2 := a x R ( F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})} として、 R {\displaystyle R} を F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の間の回転とすると G 1 = a x R ( F 1 ) {\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)} である。回転が不変の下では F 1 = x a R − 1 ( G 1 ) = a x R − 1 ( F 1 ⊕ F 2 ) = a x R − 1 ( F 1 ) ⊕ a x R − 1 ( F 2 ) = G 1 ⊕ G 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}} を得る。同様に、さらに2つの力 H 1 := − G 2 , H 2 := b 2 x 2 ( F 1 ⊕ F 2 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2},\quad \mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)} を考える。 T {\displaystyle T} を F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} から H 1 {\displaystyle \mathbf {H} _{1}} への回転とすると H 1 = b x T ( F 1 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)} であり、これにより H 2 = b x T ( F 2 ) {\displaystyle \mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)} となる。 F 2 = x b T − 1 ( H 2 ) = b x T − 1 ( F 1 ⊕ F 2 ) = b x T − 1 ( F 1 ) ⊕ b x T − 1 ( F 2 ) = H 1 ⊕ H 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} } これら2つの方程式より F 1 ⊕ F 2 = ( G 1 ⊕ G 2 ) ⊕ ( H 1 ⊕ H 2 ) = ( G 1 ⊕ G 2 ) ⊕ ( − G 2 ⊕ H 2 ) = G 1 ⊕ H 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}} を得る。 G 1 {\displaystyle \mathbf {G} _{1}} と H 2 {\displaystyle \mathbf {H} _{2}} はどちらも F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} に沿っているため、長さ x {\displaystyle x} は | F 1 ⊕ F 2 | = | G 1 ⊕ H 2 | = a 2 x + b 2 x {\displaystyle \left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}} に等しく、 x = a 2 + b 2 {\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} である。このことは F 1 ⊕ F 2 = a e 1 ⊕ b e 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}} が長さ a 2 + b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} を持ち、これは a e 1 + b e 2 {\displaystyle a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}} の長さであることを示している。したがって、 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} が垂直である場合、 F 1 ⊕ F 2 = F 1 + F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}} である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、 ⊕ {\displaystyle \oplus } の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する。
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