反復関数系(IFS)による記述
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/29 06:48 UTC 版)
「レヴィC曲線」の記事における「反復関数系(IFS)による記述」の解説
反復関数システム （IFS、または事実上のカオスゲームの IFS手法）を使用する場合、C曲線の構築はやや簡単である。 これには、二つの「規則」を必要とする、すなわち、平面上の2つの点が、それぞれスケール因子 の1/√2と関連付けられる。第1の規則は45°の回転、第2の規則は -45°の回転である。この規則が、ある点[X, y ]に対し反復的に実行される、このときに2つの規則がランダムに選択適用され、回転と拡大縮小の規則に関連付けられたパラメーターが用いられる、そして2次元の変換関数によりC曲線に対応する点が得られる。 複素数を使用すると、IFSは以下のように表せる。 f 1 ( z ) = ( 1 − i ) z 2 {\displaystyle f_{1}(z)={\frac {(1-i)z}{2}}} f 2 ( z ) = 1 + ( 1 + i ) ( z − 1 ) 2 {\displaystyle f_{2}(z)=1+{\frac {(1+i)(z-1)}{2}}} 初期値は S 0 = { 0 , 1 } {\displaystyle S_{0}=\{0,1\}} また実数を使用したIFSでも記述できる。 f 1 ( x , y ) = [ 0.5 − 0.5 0.5 0.5 ] [ x y ] {\displaystyle f_{1}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.5&\ -0.5\ \\0.5&\ 0.5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}} f 2 ( x , y ) = [ 0.5 0.5 − 0.5 0.5 ] [ x y ] + [ 0.5 0.5 ] {\displaystyle f_{2}(x,y)={\begin{bmatrix}\ 0.5&\ 0.5\ \\-0.5&\ 0.5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\ 0.5\\0.5\end{bmatrix}}} 上記の式を展開すると、以下の式が得られる。これらの関数を反復的に計算してプロットするとレヴィC曲線を描画できる。 ƒ1 x n + 1 = 0.5 x n - 0.5 y n y n + 1 = 0.5 x n + 0.5 y n ƒ2 x n + 1 = 0.5 x n + 0.5 y n + 0.5 y n + 1 = −0.5 x n + 0.5 y n + 0.5
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