剰余類・剰余群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:19 UTC 版)
部分群 H と G の元 g について、gH はある G の部分集合になる。2 つの g, g' について gH, g'H は全く一致するか交わらないかのいずれかである。従って、 G = ⨆ λ ∈ Λ g λ H {\displaystyle G=\bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }g_{\lambda }H} と非交和に書き表せる。それぞれの gH を （H を法とする g の属する G の） 剰余類（または傍系）という。|gH| = |H| が成り立つので結局 |G| = |Λ||H| が成り立つ。G が有限群ならばこれは H の位数が G の位数を割り切るということをいっている（ラグランジュの定理）。特に素数位数の群は巡回群である。|Λ| を [G : H] とか (G : H) などと書いて H の（G に対する）指数という。指数 1 の部分群はもとの群であり、指数 2 の部分群は常に正規部分群である。 N を正規部分群とするとき gN = Ng が成り立つ。すると、二つの剰余類 gN, hN について gN · hN = ghNN = ghN が成り立ち、剰余類の間に演算を定義することができる。ここからすぐにこの剰余類全体は群を成すことが分かる。この群を G の N による剰余群または商群といい、G/N と表す。
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