例：レヴィ・チヴィタ接続
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 04:18 UTC 版)
「接続形式」の記事における「例：レヴィ・チヴィタ接続」の解説
例として、M にはリーマン計量が入っているとして、M の接バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続を考える。 接バンドル上の局所標構は、M の開集合上に定義されたどの点でも線型独立なベクトル場 e = (ei | i = 1,2,...,n=dim M) の順序づけられた基底である。クリストッフェル記号は、 ∇ e i e j = ∑ k = 1 n Γ i j k ( e ) e k . {\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.} ω i j ( e ) = ∑ k Γ k i j ( e ) θ k {\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma _{ki}^{j}(\mathbf {e} )\theta ^{k}} となる。 接続形式のことばでは、ベクトル場 v = Σieivi の外積接続は、 D v = ∑ k e k ⊗ ( d v k ) + ∑ j , k e k ⊗ ω j k ( e ) v j {\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}} ∇ e i v = ⟨ D v , e i ⟩ = ∑ k e k ( ∇ e i v k + Σ j Γ i j k ( e ) v j ) . {\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\Sigma _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right).}
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