例: マーロ基数はhyper-到達不能であることの証明

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例: マーロ基数はhyper-到達不能であることの証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/13 02:46 UTC 版)

「マーロ基数」の記事における「例: マーロ基数はhyper-到達不能であることの証明」の解説

κ がマーロ基数であるとする。α ≤ κなる α に対して、α 上の超限帰納法によって、κ が α-到達不能であることを示す。 κ がマーロ基数であるので、κ は到達不能である。同じことだが、0-到達不能でもある。 κ が α-到達不能なので、全ての β < α に対して β-到達不能基数があって、κに近づく。ある値より大きいが κ より小さいβ-到達不能基数の simultaneous limits の集合を考える。これは κ 内で非有界である(β < α なる β に対する β-到達不能基数 より大きい基数のω回の選択を考えると、正則性により κ より小さい極限を得る(α ≥ κ であれば矛盾する))。これは閉でもあるので κ の中でclubである。だから、κ のマーロ性により、これは到達不能基数を含む。この到達不能性は実は α-到達不能性であり、κ は α+1-到達不能である。 λ ≤ κ が極限順序数で κ が全ての α < λ に対して α-到達不能であるなら、全ての β < λ はある α < λ に対してそれより小さい。この場合は自明である。特に、κ は κ-到達不能ですなわちhyper-到達不能である。 κ が hyper-到達不能基数の極限であり1-hyper-到達不能であることを示すために、全ての α < μ に対して α-到達不能となるような基数 μ < κ 達の対角線集合が κ 内でclubであることを示す。 0-到達不能基数を閾値より上のものとして選んでそれを α0 と呼ぶ。そして α0-到達不能基数を選んで α1 と呼ぶ。これの繰り返しによって、不動点に到達するまで極限の極限を取り続ける。不動点を μ とする。このとき、μ は要求された性質を満たす(全ての α < μ に対するα-到達不能基数のsimultaneous limitである)。そして、これは正則性により κ より小さい。このような基数達の極限も同様に同じ性質を満たす。だからその集合は κ 内でclubである。κ のマーロ性により、この集合の中に hyper-到達不能基数が存在する。だから、κ は1-hyper-到達不能である。この同じclub集合 と κ 未満の定常集合の共通部分はκ 未満のhyper-到達不能基数の定常集合である。 κ が α-hyper-到達不能であることの証明の残りは、それが α-到達不能であることの証明を模倣すればよい。だから κ は hyper-hyper-到達不能, etc..になる。