与えられた数より小さい素数の個数についてとは

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与えられた数より小さい素数の個数について

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/14 21:52 UTC 版)

『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて^[1]、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか9ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある^[2]^[3]^[4]。

注釈

^ $s = σ + it$ と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
^ $s = 1/2 + it$ として
$\xi (t)=\Gamma \left({\frac {s}{2}}+1\right)(s-1)\pi ^{-s/2}\zeta (s)\,$
で定義する。ここに、 $Γ$ はガンマ関数である。現代においてよく用いられる $ξ$ とは異なることに注意。
^ 原論文では $f (x)$ と表されている。 $x \geq 0$ で定義され、 $J (0) = 0$ かつ $J (x)$ は素数の冪 $p n$ 毎に $1/ n$ ずつ飛び飛びの値をとる。
^ $ξ$ の積表示とは、次の等式のこと。
$\xi (t)=\xi (0)\prod _{\alpha }\left(1-{\frac {t^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)$
ここに $α$ は $ξ$ の零点で、実部が正であるものをわたる。