不変量
不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 14:37 UTC 版)
「一般相対性理論の数学」の記事における「不変量」の解説
一般相対性理論の主要な特徴のひとつは、（座標系による）物理法則の不変性という考え方である。この不変性はいろいろなやりかた、例えば、局所ローレンツ共変（英語版）(local Lorentz covariance) や一般相対性原理や微分同相共変性 (diffeomorphism covariance)で記述できる。 より明確な記述はテンソルを用いることで可能となる。このアプローチで用いられるテンソルの重要な特徴は、（ひとたび計量が与えられたとすれば）階数（ランク）がR のテンソルのすべての添字を縮約すると不変量と呼ばれる数値（スカラー）が得られて、この不変量は縮約に使った座標チャートには無関係になるという事実である。このことは物理的には、（異なる座標系にある）2人の観測者が不変量を計算すると、同じ数値が得られる、したがって不変量は観測者とは無関係の意味を持っていることを意味する。一般相対性理論に於いて重要な不変量としては次のものがある。 リッチスカラー: R = R a b g a b {\displaystyle \scriptstyle R\;=\;R^{ab}g_{ab}} クレッツェマンスカラー（英語版）(Kretschmann scalar): K = R a b c d R a b c d {\displaystyle \scriptstyle K\;=\;R^{abcd}R_{abcd}} 相対性理論での不変量の他の例は、電磁不変量（英語版）(electromagnetic invariants) や、他にも様々な曲率不変量（英語版）(curvature invariants) があり、後者としては重力エントロピー（英語版）(gravitational entropy) やワイル曲率仮設（英語版）(Weyl curvature hypothesis) の研究における応用の探索がある。
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不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/02 05:49 UTC 版)
n が偶数のときは、多重種数 Pn が 1 で、n が奇数のときは、0 である。基本群は位数が 2 である。第二コホモロジー群 H2(X, Z) は、次元 10 の唯一の群のユニモジュラ格子（英語版）(unimodular lattice) II1,9 と符号 -8 と位数 2 の群の和に同型である。 ダイアモンド： 1 0 0 0 10 0 0 0 1 マーク付きのエンリケス曲面は、連結な 10-次元の族を形成し、Kondo (1994) では有理的であることが示された。
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不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/01 17:15 UTC 版)
不正則数 q は 1 で h1,0 = 0 であり、全ての多重種数はみな、0 である。 ホッジダイアモンド： 1 0 1 0 b2 0 1 0 1
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不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/09 02:15 UTC 版)
「ヴァイエルシュトラスの楕円函数」の記事における「不変量」の解説
原点の近傍を除き、℘ のローラン級数展開は ℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = z − 2 + 1 20 g 2 z 2 + 1 28 g 3 z 4 + O ( z 6 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})} で与えられる。ただし、 g 2 = 60 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m ω 1 + n ω 2 ) − 4 , {\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4},} g 3 = 140 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m ω 1 + n ω 2 ) − 6 {\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}} である。これらの数値 g2, g3 はペー函数の不変量 (invariant) と呼ばれる。係数 60 および 140 の後ろにある和はアイゼンシュタイン級数の最初の二つで、これらは Im(τ)>0 なる τ = ω2/ω1 の函数 G4(τ) および G6(τ) としてそれぞれを見做せばモジュラー形式を成すことがわかる。 ここで、g2 および g3 はそれぞれ次数 −4 および −6 の斉次函数である。つまり g 2 ( λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 4 g 2 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})} および g 3 ( λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 6 g 3 ( ω 1 , ω 2 ) . {\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).} を満たす。従って、慣習的に、g2 および g3 を、上半平面に属する周期比 τ = ω2/ω1 を用いて、 g 2 ( τ ) = g 2 ( 1 , ω 2 / ω 1 ) = ω 1 4 g 2 ( ω 1 , ω 2 ) , g 3 ( τ ) = g 3 ( 1 , ω 2 / ω 1 ) = ω 1 6 g 3 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),\quad g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})} と表すこともよく行われる。 g2 および g3 は Im(τ)>0 において正則で、フーリエ級数は、ノーム q = exp(iπτ) の平方を用いて書くことができて、 g 2 ( τ ) = 4 π 4 3 [ 1 + 240 ∑ k = 1 ∞ σ 3 ( k ) q 2 k ] {\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]} および g 3 ( τ ) = 8 π 6 27 [ 1 − 504 ∑ k = 1 ∞ σ 5 ( k ) q 2 k ] {\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]} となる。ただし、σa(k) は約数函数である。これらの式はランベルト級数を用いて書き直すこともできる。 不変量をヤコビのテータ函数を用いて書くこともできるが、テータ函数の収斂は非常に速く、これは数値計算に非常に有効な方法である。Abramowitz & Stegun (1965) の記法で、ただし原始半周期は ω1, ω2 と書くものとすると、不変量に関して g 2 ( ω 1 , ω 2 ) = π 4 12 ω 1 4 ( θ 2 ( 0 , q ) 8 − θ 3 ( 0 , q ) 4 θ 2 ( 0 , q ) 4 + θ 3 ( 0 , q ) 8 ) {\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}\left(\theta _{2}(0,q)^{8}-\theta _{3}(0,q)^{4}\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{8}\right)} および g 3 ( ω 1 , ω 2 ) = π 6 ( 2 ω 1 ) 6 [ 8 27 ( θ 2 ( 0 , q ) 12 + θ 3 ( 0 , q ) 12 ) − 4 9 ( θ 2 ( 0 , q ) 4 + θ 3 ( 0 , q ) 4 ) ⋅ θ 2 ( 0 , q ) 4 θ 3 ( 0 , q ) 4 ] {\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{(2\omega _{1})^{6}}}\left[{\frac {8}{27}}\left(\theta _{2}(0,q)^{12}+\theta _{3}(0,q)^{12}\right)-{\frac {4}{9}}\left(\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{4}\right)\cdot \theta _{2}(0,q)^{4}\theta _{3}(0,q)^{4}\right]} が成り立つ。ただし、τ = ω2/ω1 は周期比で q = exp(iπτ) はノームである。
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