不分岐拡大
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/11 09:25 UTC 版)
L を K の有限次または無限次代数拡大体とし | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} の | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} に対する分岐指数が 1 であるならば、L を K の不分岐拡大体、 L / K {\displaystyle L/K} は不分岐であるという。このことは、L が有限次代数拡大体であるとき、 [ L : K ] = [ F L : F K ] {\displaystyle \scriptstyle [L:K]=[F_{L}:F_{K}]\!} を満たすことと同値であり、 [ L : K ] = n {\displaystyle \scriptstyle [L:K]=n\!} としたとき、L を n 次の不分岐拡大体という。 不分岐拡大について、以下のことが成立する。 (1) L が K の不分岐拡大体であるとき、K を含む任意の L の部分体も K の不分岐拡大体である。 (2) K の剰余体 F K {\displaystyle F_{K}} の標数 p が正であるとき、有限次代数拡大体 L が K の不分岐拡大体である必要十分条件は、p と互いに素な正整数 m 1 , … , m r {\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{r}} が存在して L = K ( ζ 1 , … , ζ r ) {\displaystyle L=K(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{r})} となることである。但し ζ j ( 1 ≤ j ≤ r ) {\displaystyle \scriptstyle \zeta _{j}\ (1\leq j\leq r)} は、1 の m j {\displaystyle m_{j}} 乗根とする。特に K に p と互いに素な正整数に対する 1 のベキ乗根全てを添加した体は、K の最大不分岐拡大体である (3) L , K ′ {\displaystyle L,\ K'} を K の代数閉包に含まれる有限次代数拡大とし、 L ′ = L K ′ {\displaystyle L'=LK'} とおく。このとき、 L / K {\displaystyle L/K} が不分岐であれば、 L ′ / K ′ {\displaystyle L'/K'} も不分岐である。 (4) L , L ′ {\displaystyle L,\ L'} が K の不分岐拡大体であるならば、合成体 L L ′ {\displaystyle LL'} も K の不分岐拡大体である。 K の（有限次ないし無限次）代数拡大体 E に対して、E に含まれる K の不分岐拡大体全ての合成は、包含関係で最大な K の不分岐拡大体であり、これを E / K {\displaystyle E/K} の最大不分岐部分拡大という。特に K の代数閉包 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} に対して、 K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} の最大不分岐部分拡大を K の最大不分岐拡大体という。 L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐拡大 T に対して、以下のことが成立する。 T の剰余体は F L / F K {\displaystyle F_{L}/F_{K}} の分離閉包であり、T の値群は K の値群と等しい。
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