ルーローの多面体

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ルーローの四面体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/10 05:14 UTC 版)

正四面体とルーローの四面体

4つの球の共通部分がルーローの四面体となる

ルーローの四面体（ルーローのしめんたい、Reuleaux tetrahedron）は、正四面体の各頂点を中心とし、正四面体の辺長（以下 s とする）を半径とする、4つの球の共通部分である。

ルーローの四面体は4つの頂点、6つの辺、4つの面を持ち、正四面体と同相である。しかし、面が平面ではなく膨らんでおり、各頂点を中心とし半径 s の球面の部分集合になっている。また辺も線分ではなく、各頂点を中心とし半径 s の円弧である。そのため、多面体ではない。

ルーローの四面体の定義はルーローの三角形の定義をそのまま3次元に拡張したものといえる。ルーローの四面体の3つの頂点を通る平面での断面は、ルーローの三角形である。

非定幅性

ルーローの三角形は定幅図形なので、ルーローの四面体も定幅図形であると考えるかもしれない。もし定幅図形なら、工学分野での応用が期待できる。しかし実際はルーローの四面体は定幅図形ではない。

ルーローの四面体の相対する辺の中点同士の距離は、

$\left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)s\approx 1.024944s$

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ルーローの多面体

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/10 23:50 UTC 版)

「ルーローの四面体」の記事における「ルーローの多面体」の解説

2次元では、ルーローの三角形以外に、任意の奇数角形に対するルーローの多角形が存在する。 しかし3次元では、ルーローの多面体はルーローの四面体のみである。これは、頂点と面とが相対する正多面体が正四面体のみだからである。