多重集合
(マルチセット から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/07/03 06:10 UTC 版)
数学における多重集合(たじゅうしゅうごう、multiset)あるいはバッグ(bag; かばん)は、集合に同じ値の元がいくつも含まれるとき、各元がそれぞれいくつ含まれるかという重複度を考え合わせた集合概念である。非順序対、非順序組 (unordered tuple) ともいう[注釈 1]。
- ^ 文脈によっては集合のことを非順序対 (unordered pair) などと呼ぶこともある。特に、x ≠ y のときの {x, y} を非順序対と呼ぶときは、これが集合であると理解しても多重集合であると理解しても論理的には同じである(x = y のときは差異が認められる)。
- ^ 中抜き太字の類例だが、重ね打ち (double struck) で表すときは間が広いと「集合の集合」と紛らわしい。
- ^ このような外延的記法での例を挙げると、集合なのになぜか多重集合のようではないか、不自然だといったようなことを考える向きもあるだろうが、内包的記法が多用される数学の文脈では(それを外延的に書き直すと)このような例は実際に頻繁に遭遇することであり、このように規約を設けることには便宜上も意味のあることである。簡単な例で言えば、偶数の集合 2Z = {2n | n は整数} と 4 の倍数の集合 4Z = {4n | n は整数} の和集合はもちろん偶数の集合だが、2Z ∪ 4Z = {x | x = 2n または x = 4m (n, m は整数)} の右辺には 4 の倍数が 2 回ずつ現れている。
- ^ この記法は(特に添字集合が明らかであるとして省略するとき)数列を表す慣習的な記法 {an} と紛らわしい。
- ^ 二項係数が初等組合せ論において組合せ (choose) に関係することのアナロジーで、多重集合係数を "multichoose" と呼ぶこともある[19]。しかし、二項係数の場合と異なり、多重集合係数に対する組合せ論的な多項式展開定理(いわば「多重集合定理」)は知られていない。またそのため、多項定理に現れる多項係数(これは多重集合係数とは直接的には関係ない)と混同の虞は無いであろう。
- ^ a b c Knuth, Donald E. (1998). The Art of Computer Programming – Vol. 2: Seminumerical Algorithms (3rd edition ed.). Addison Wesley. pp. 694. ISBN 0201896842 クヌースは同書で、多重集合に対して提案された他の名前(例えば,リスト(list)、まとまり(bunch)、バッグ(bag)、堆積(heap)、標本(sample)、重みつき集合(weighted set)、コレクション(collection)、組(suite).など)も提示している。
- ^ a b Wayne D. Blizard (1991). “The development of multiset theory”. The Review of Modern Logic 1 (4): 319-352 2022年2月12日閲覧。. 多重集合の歴史に関するサーベイ論文である。
- ^ デーデキント; 河野伊三郎 (訳) (1967). 数について. 岩波書店. pp. 139. ISBN 4003392418
- ^ Syropoulos, Apostolos (2001). C. S. Calude et al.. ed. “Mathematics of Multisets” (PDF). WMP '00 Proceedings of the Workshop on Multiset Processing: Mathematical, Multiset Processing, Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View (Springer-Verlag): 347–358. ISBN 3-540-43063-6 2010年11月26日閲覧。.
- ^ Hein, James L. (2003). Discrete mathematics. Jones & Bartlett Publishers. pp. 29–30. ISBN 0-7637-2210-3
- ^ Cristian S. Calude, Gheorghe Păun, Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa, Multiset Processing: Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View Springer Verlag 2001, ISBN 3-540-43063-6 S. 105
- ^ Blizard, Wayne D (1989). “Multiset theory”. Notre Dame Journal of Formal Logic 30 (1): 36–66. doi:10.1305/ndjfl/1093634995 .
- ^ a b c Blizard, Wayne D. (1991). “The Development of Multiset Theory”. Modern Logic 1 (4): 319–352 .
- ^ Peterson, James L. (1981). Petri Net Theory and the Modelling of Systems. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall
- ^ Cerf, Vint; Fernandez, E.; Gostelow, K.; Volansky, S. (December 1971). Formal Control Flow Properties of a Model of Computation (Report). Los Angeles, California: Computer Science Department, University of California. ENG-7178。
- ^ a b Singh, D.; Ibrahim, A. M.; Yohanna, T.; Singh, J. N. (2007). “An overview of the applications of multisets”. Novi Sad Journal of Mathematics 37 (2): 73–92.
- ^ Angelelli, I. (1965). “Leibniz's misunderstanding of Nizolius' notion of 'multitudo'”. Notre Dame Journal of Formal Logic (6): 319–322.
- ^ Kircher, Athanasius (1650). Musurgia Universalis. Rome: Corbelletti
- ^ Prestet, Jean (1675). Elemens des Mathematiques. Paris: André Pralard
- ^ Wallis, John (1685). A treatise of algebra. London: John Playford
- ^ Dedekind, Richard (1888). Was sind und was sollen die Zahlen?. Braunschweig: Vieweg
- ^ Syropoulos, Apostolos (2001). “Mathematics of Multisets”. In Calude, C. S.. Multiset processing: Mathematical, computer science, and molecular computing points of view. Springer-Verlag. pp. 347–358
- ^ 例えばStanley 1997
- ^ Weisstein, Eric W. "Multichoose". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Aigner, M. (1979). Combinatorial Theory. New York/Berlin: Springer Verlag
- ^ Anderson, I. (1987). Combinatorics of Finite Sets. Oxford: Clarendon Press
- ^ Stanley, Richard P. (1997). Enumerative Combinatorics. 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55309-1
- ^ Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1
- ^ Grumbach, S.; Milo, T (1996). “Towards tractable algebras for bags”. Journal of Computer and System Sciences 52 (3): 570–588.
- ^ Libkin, L.; Wong, L. (1994). “Some properties of query languages for bags”. Proceedings of the Workshop on Database Programming Languages. Springer Verlag. pp. 97–114
- ^ Libkin, L.; Wong, L. (1995). “On representation and querying incomplete information in databases with bags”. Information Processing Letters 56 (4): 209–214.
- ^ Yager, R. R. (1986). “On the Theory of Bags”. International Journal of General Systems 13: 23–37.
- ^ Grzymala-Busse, J. (1987). “Learning from examples based on rough multisets”. Proceedings of the 2nd International Symposium on Methodologies for Intelligent Systems. Charlotte, North Carolina. pp. 325–332
- ^ Blizard, Wayne D. (1989). “Real-valued Multisets and Fuzzy Sets”. Fuzzy Sets and Systems 33: 77–97.
- ^ Blizard, Wayne D. (1990). “Negative Membership”. Notre Dame Journal of Formal Logic 31 (1): 346–368.
- ^ Loeb, D. (1992). “Sets with a negative numbers of elements”. Advances in Mathematics 91: 64–74.
- ^ Miyamoto, S. (2001). “Fuzzy Multisets and their Generalizations”. Multiset Processing 2235: 225–235.
- ^ Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R.; Hassan, N. (2011). “Soft Multisets Theory”. Applied Mathematical Sciences 5 (72): 3561–3573.
- ^ Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R. (2012). “Fuzzy Soft Multiset Theory”. Abstract and Applied Analysis.
- ^ Burgin, Mark (1990). “Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics”. Structures in Mathematical Theories. San Sebastian. pp. 417–420
- ^ Burgin, Mark (1992). “On the concept of a multiset in cybernetics”. Cybernetics and System Analysis 3: 165–167.
- ^ Burgin, Mark (2004). "Unified Foundations of Mathematics". arXiv:math/0403186。
- ^ Burgin, Mark (2011). Theory of Named Sets. Mathematics Research Developments. Nova Science Pub Inc. ISBN 978-1-61122-788-8
多重集合と同じ種類の言葉
- 多重集合のページへのリンク