非負整数の多重集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/12 05:35 UTC 版)
非負整数 n を単項式 xn で表すと、同様にして非負整数からなる有限多重集合を多項式 f(x) で表すことができる。 これには累積母函数 g(t) = log f(et) を考えるのが簡便である。 多重集合の濃度は eg(0) = f(1). 累積母函数の導函数は g ′ ( t ) = f ( e t ) − 1 f ′ ( e t ) e t {\displaystyle g'(t)=f(e^{t})^{-1}f'(e^{t})e^{t}} .多重集合の平均値 μ = g ′ ( 0 ) = f ( 1 ) − 1 f ′ ( 1 ) {\displaystyle \mu =g'(0)=f(1)^{-1}f'(1)} . 多重集合の分散 σ 2 = g ″ ( 0 ) {\displaystyle \sigma ^{2}=g''(0)} . 例えば非負整数の多重集合 {2, 2, 2, 3, 5} に対応する多項式は f(x) = 3x2 + x3 + x5 であり、その累積母函数 g(t) = log(3e2t + e3t + e5t), 濃度 3 + 1 + 1 = 5, 導函数 g'(t) = (3e2t + e3t + e5t)−1(6e2t + 3e3t + 5e5t), 平均値 μ = (3 + 1 + 1)−1(6 + 3 + 5) = 2.8 などと計算できる。 ここに現れる数 (μ,σ2, …) = (g'(0), g"(0), …) は各次数の累積率と呼ばれる。 非負整数全体の成す無限集合 {0, 1, 2, …} は形式冪級数 1 + x + x2 + ⋯ = (1 − x)−1 で表され、平均値や標準偏差は定義されないが、累積母函数 g(t) = −log(1 − et) は持つ。この累積母函数の導函数は g'(t) = (e−t − 1)−1 である。
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