非調和振動子のエネルギー準位
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/05/13 05:36 UTC 版)
「非調和性」の記事における「非調和振動子のエネルギー準位」の解説
例として次のようなハミルトニアンで表される非調和振動子を考える。 H = p 2 2 m + m ω 2 2 x 2 + λ x 4 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+\lambda x^{4}} 非調和項 λ x 4 {\displaystyle \lambda x^{4}} が十分に小さい（ λ ≪ ℏ ω {\displaystyle \lambda \ll \hbar \omega } ）として1次の摂動まで考えると、非調和振動子のエネルギー準位は次のように調和振動子のエネルギー準位からずれる。 E n ≈ ℏ ω ( n + 1 2 ) + ⟨ n | λ x 4 | n ⟩ {\displaystyle E_{n}\approx \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\langle n|\lambda x^{4}|n\rangle } ここで | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は、調和振動子の数演算子の固有状態である。ここで ⟨ n | λ x 4 | n ⟩ {\displaystyle \langle n|\lambda x^{4}|n\rangle } に x = ℏ 2 m ω ( a + a † ) {\displaystyle x={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })} を代入すると、生成消滅演算子についての16個の項が得られる。生成消滅演算子の昇降性により、ゼロでない期待値を与えるのは２個の a {\displaystyle a} と２個の a † {\displaystyle a^{\dagger }} を含む項のみである。よってこの項のみを計算すると、次のようになる。よって調和振動子のように等間隔なエネルギー準位ではないことがわかる。 E n ≈ ℏ ω ( n + 1 2 ) + 3 λ ( ℏ 2 m ω ) 2 ( 2 n 2 + 2 n + 1 ) {\displaystyle E_{n}\approx \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+3\lambda \left({\frac {\hbar }{2m\omega }}\right)^{2}(2n^{2}+2n+1)}
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