ボール2段の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/29 15:18 UTC 版)
ここで、大ボールと小ボールの2段の場合を考える。大ボールの質量を m 1 {\displaystyle m_{1}} 、小ボールの質量を m 2 {\displaystyle m_{2}} 、大ボールと小ボールが床に衝突する直前の速度を v 0 {\displaystyle v_{0}} 、床と大ボールが衝突した後の大ボールの速度を v 1 ′ {\displaystyle v_{1}^{\prime }} 、大ボールと床の反発係数を e 0 {\displaystyle e_{0}} とすると、以下の関係が成り立つ。 v 1 ′ = − e 0 v 0 {\displaystyle v_{1}^{\prime }=-e_{0}v_{0}} 次に床と大ボールが衝突した直後に速度 v 1 ′ {\displaystyle v_{1}^{\prime }} で跳ね上がった大ボールと、速度 v 0 {\displaystyle v_{0}} で落下する小ボールが衝突する。衝突後の大ボールの速度を v 1 {\displaystyle v_{1}} 、小ボールの速度を v 2 {\displaystyle v_{2}} とする。運動量保存の法則から以下の関係が成り立つ。 − m 1 v 1 ′ − m 2 v 0 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle -m_{1}v_{1}^{\prime }-m_{2}v_{0}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} また大ボールと小ボールの反発係数を e 1 {\displaystyle e_{1}} とすると、 e 1 = − v 1 − v 2 − v 1 ′ − ( − v 0 ) {\displaystyle e_{1}=-{\frac {v_{1}-v_{2}}{-v_{1}^{\prime }-(-v_{0})}}} v 1 {\displaystyle v_{1}} と v 2 {\displaystyle v_{2}} について整理すると、 v 1 = m 1 − ( e 0 e 1 + e 0 + e 1 ) m 2 m 1 + m 2 v 0 {\displaystyle v_{1}={\frac {m_{1}-(e_{0}e_{1}+e_{0}+e_{1})m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{0}} v 2 = ( e 0 e 1 + e 0 + e 1 ) m 1 − m 2 m 1 + m 2 v 0 {\displaystyle v_{2}={\frac {(e_{0}e_{1}+e_{0}+e_{1})m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{0}} ここで理想的にすべての衝突で完全弾性衝突が起きるとすると、反発係数が e 0 = e 1 = 1 {\displaystyle e_{0}=e_{1}=1} となり、以下の式が導くことができる。 v 1 = m 1 − 3 m 2 m 1 + m 2 v 0 {\displaystyle v_{1}={\frac {m_{1}-3m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{0}} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (1-1) v 2 = 3 m 1 − m 2 m 1 + m 2 v 0 {\displaystyle v_{2}={\frac {3m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v_{0}} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (1-2) m 1 = 3 m 2 {\displaystyle m_{1}=3m_{2}} 、すなわち大ボールの質量が小ボールの質量の3倍であるとき、以下が成り立つ。 v 1 = 0 {\displaystyle v_{1}=0} ， v 2 = 2 v 0 {\displaystyle v_{2}=2v_{0}} つまり「大ボールが小ボールの3倍の質量のとき、大ボールは静止し、上にある小ボールは2倍の速さで跳ね上がる」ということになる。また初速0で落下させ、空気抵抗などを無視できるとすると小ボールは落下開始位置の4倍の高さまで跳ね上がる。 さらに小ボールが最大の速度を得るには、大ボールに比べて小ボールの質量が十分小さいとき、つまり m 1 ≫ m 2 {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}} のとき m 2 m 1 → 0 {\displaystyle {\frac {m_{2}}{m_{1}}}\rightarrow 0} 、式(1-1)と式(1-2)に適用すると、 v 1 → v 0 {\displaystyle v_{1}\rightarrow v_{0}} ， v 2 → 3 v 0 {\displaystyle v_{2}\rightarrow 3v_{0}} となり、小ボールの跳ね返り後の速度は衝突直前の速度の3倍、初速0で落下させ空気抵抗などを無視できるとすると小ボールは落下開始位置の9倍の高さまで跳ね上がる。
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