ボーアコンパクト化と概周期性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/09 04:56 UTC 版)
「ポントリャーギン双対」の記事における「ボーアコンパクト化と概周期性」の解説
ポントリャーギン双対性の重要な応用にコンパクト可換位相群の次のような特徴づけがある。 定理 局所コンパクト可換群 G がコンパクトとなることは、その双対群 G^ が離散群となることに同値である。逆に、G が離散群であるとき、かつそのときに限りG^ はコンパクトである。 G が局所コンパクトあるいは可換であるか否かに関わらず、任意の位相群 G に対してボーアコンパクト化が定義される。コンパクトアーベル群と離散アーベル群の間のポントリャーギン双対性を用いて、任意の局所コンパクト可換位相群のボーアコンパクト化を特徴付けることができる。G のボーアコンパクト化 B(G) とは、H を G^ と（抽象群として）同じ群構造をもつが位相を離散位相に取り替えたものとするとき、H^ のことをいう。包含写像 ι : H ↪ G ^ {\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow {\hat {G}}} は連続準同型であるから、双対射 G ∼ G ^ ^ → H ^ {\displaystyle G\sim {\widehat {\hat {G}}}\to {\hat {H}}} はコンパクト群への射で、これが必要な普遍性を満たすことは簡単に示せる。 「概周期函数」も参照
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