ペアノ算術による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/30 10:22 UTC 版)
初等教育では 1+1=2 は自明のこととして扱われるが、公理から出発して証明された命題のみを真実として認める、というエウクレイデス以来の哲学からすると、1+1=2 の論理的な位置付けを明らかにすることが望まれる。数学基礎論が整備されつつあった時代に、ホワイトヘッドとラッセルは、数学の基礎的な部分を完全に形式的に展開することを目標として『プリンキピア・マテマティカ』を著した。この書物では、記号論理学的な準備に数百項が費やされており、実際に十進法の演算が定義されて 1+1=2 が証明されるまで700ページあまりを必要としている。 『プリンキピア・マテマティカ』は、先駆的な仕事であったものの、現代的には批判もあり、自然数の定義として通常採用されるのはペアノの公理である。それによると、自然数の間に「後者関数」と呼ばれる関数 suc(a) が与えられ、（自然数に 0 を含める場合）0 の「後者」suc(0) が 1、その「後者」suc(1)が 2 と定義される。 一方、加法+はペアノ算術の公理によれば n + 0 = n および n + suc(m) = suc(n + m) によって再帰的に定義される2変数関数+のことである。 これらの準備のもと、等号公理により 1 + 1 = 1 + suc(0) = suc(1 + 0) = suc(1) = 2 となる。これが1+1=2の厳密な証明である。
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