ベクトル場のリー微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/13 19:59 UTC 版)
関数のリー微分をいくつかの方法で以って定義したが、いずれにせよ関数のリー微分は多変数微積分学におけるベクトル場に沿った微分という通常の概念に倣ったものである。2つのベクトル場 X と Y のリー括弧積 [X,Y] を定義することでベクトル場に対するリー微分も定義することができる。リー括弧積の定義の仕方はいくつか方法があるがいずれも等価であり、リー括弧積をどう定義するにせよ、ベクトル場 Y の X に関するリー微分は、リー括弧積 [X,Y] に等しいものとして L X Y = [ X , Y ] {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]} と定義するのである。 リー括弧積の定義をいくつか挙げれば、まずひとつに、ベクトル場 X と Y の局所座標表示を用いたものがある。xa を M 上の座標とするとき、接束の基底ベクトルは通常、∂/∂xa と記される。ゆえに M 上のベクトル場はこの基底に関する座標を与えて X = X a ∂ ∂ x a {\displaystyle X=X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}} のように表示される。そして、二つのベクトル場の組 X, Y に対して、そのリー括弧積 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} は [ X , Y ] := ( X ( Y a ) − Y ( X a ) ) ∂ ∂ x a = ( X b ∂ Y a ∂ x b − Y b ∂ X a ∂ x b ) ∂ ∂ x a {\displaystyle [X,Y]:=(X(Y^{a})-Y(X^{a})){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}=\left(X^{b}{\frac {\partial Y^{a}}{\partial x^{b}}}-Y^{b}{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{a}}}} によって与えられるベクトル場と定義するものである。 次の定義は座標に因らないという意味で内在的なものである。ベクトル場を関数に対する 1 階の微分作用素と同一視することにより、二つのベクトル場のリー括弧積は以下のように定義できる。二つのベクトル場 X, Y に対して [ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) − Y ( X ( f ) ) . {\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)).} によって定義される X と Y のリー括弧積 [X, Y] は再びベクトル場となる。これが前の定義と等価であることは、X と Y の局所座標表示を与えれば直ちに確かめられる。 他の等価な定義には以下のようなものがある。 ( L X Y ) x := lim t → 0 ( T ( F l − t X ) Y F l t X ( x ) − Y x ) / t = d d t | t = 0 T ( F l − t X ) Y F l t X ( x ) {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}:=\lim _{t\to 0}(\mathrm {T} (\mathrm {Fl} _{-t}^{X})Y_{\mathrm {Fl} _{t}^{X}(x)}-Y_{x})/t=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\mathrm {T} (\mathrm {Fl} _{-t}^{X})Y_{\mathrm {Fl} _{t}^{X}(x)}} L X Y := d 2 2 d t 2 | t = 0 F l − t Y ∘ F l − t X ∘ F l t Y ∘ F l t X = d d t | t = 0 F l − t Y ∘ F l − t X ∘ F l t Y ∘ F l t X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y:=\left.{\frac {d^{2}}{2dt^{2}}}\right|_{t=0}\mathrm {Fl} _{-t}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{-t}^{X}\circ \mathrm {Fl} _{t}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{t}^{X}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\mathrm {Fl} _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \mathrm {Fl} _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{\sqrt {t}}^{X}}
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