ベクトルを用いた公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 05:43 UTC 版)
「点と直線の距離」の記事における「ベクトルを用いた公式」の解説
直線の方程式は、ベクトル方程式として与えることもできる： x = a + t n {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} } ここで a は直線のある点を表す位置ベクトルで、 n は直線の方向を表す単位ベクトル である。またtはスカラー変数で、xが直線の軌跡となる。 ここで、平面の任意の点 pとこの直線の距離は以下のように与えられる： distance ( x = a + t n , p ) = ‖ ( a − p ) − ( ( a − p ) ⋅ n ) n ‖ . {\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.} この公式は次のように導出できる: a − p {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } は点pから点aへのベクトルである。 ( a − p ) ⋅ n {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} } はそのベクトルを直線に射影したものの長さなので、 ( ( a − p ) ⋅ n ) n {\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} } は、 a − p {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } を直線に正射影したベクトルである。したがって、 ( a − p ) − ( ( a − p ) ⋅ n ) n {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} } は、直線に垂直な a − p {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } の成分である。つまり点と直線の距離は、このベクトルのノルムそのものである。この公式は、二次元に限らず適用できるように一般化できる。
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