面積 π /2 + 2/π = 2.207416... ソファ問題 （ソファもんだい）は数学 の問題 のひとつ。1966年 にレオ・モーザー によって問題が提示された。この問題は「L字型の通路 を通り抜けることができる、ソファ の面積 の最大値 A を求めよ」という離散幾何学 、数学パズル の問題である。
A の下界と上界
通路の幅が1であるとき、半径 1の半円 はL字型の通路を通すことができるので、A の下界 の一つとして
A
≥
π
2
≈
1.570796
{\displaystyle A\geq {\frac {\pi }{2}}\approx 1.570796}
18の線からなるガーバーのソファ
1992年 にラトガース大学 のジョセフ・ガーバー (Joseph Leonide Gerver) [ 注釈 1] 直線 と15本の曲線 ）からなる図形 により、さらに優れたA の下界の一つ 2.21953166887...（オンライン整数列大辞典 の数列 A128463 ）が示された[ 4]
一方、A の上界 については、ハマーズレイによる簡単な議論によって高々
2
2
≈
2.828427
{\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.828427}
ロミックの両手利きのソファ
この問題の変種の一つとして、単位幅の通路の途中にある直角の右折と左折の両方を通過できるようなソファの面積の最大値を求める問題がある（つまり、途中にまず右折があり、その後十分な距離をおいて左折があるような一本道を想定している）。ロミックは18本の曲線からなる図形によって、
3
+
2
2
3
+
3
−
2
2
3
−
1
+
tan
−
1
{
1
2
(
2
+
1
3
−
2
−
1
3
)
}
≈
1.644955218
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{3+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{3-2{\sqrt {2}}}}-1+\tan ^{-1}\left\{{1 \over 2}\left({\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}\right)\right\}\approx 1.644955218}
（オンライン整数列大辞典 の数列 A330934 ）という下界を示した[ 8]
2024年 11月29日 、韓国 ・延世大学校 の博士研究員 であるペク・ジノン（백진언; 白眞言）によって、ソファ問題を解決したとする論文 が arXiv に投稿された。本論文によれば、ガーバーによる例が実際に最大値を与えるとされている[ 9]
^ J. M. Hammersley (1968). “On the enfeeblement of mathematical skills by 'Modern Mathematics' and by similar soft intellectual trash in schools and universities” . Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications 4 : 66–85. https://archive.org/details/hammersley1968 . ^ Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1994). Hamos, Paul R.. ed. Unsolved Problems in Geometry II . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97506-1 . http://www.springer.com/mathematics/geometry/book/978-0-387-97506-1 2013年4月24日閲覧。 ^ Moving Sofa Constant by Steven Finch at MathSoft, includes a diagram of Gerver's sofa^ Gerver, Joseph L. (1992). “On Moving a Sofa Around a Corner”. Geometriae Dedicata 42 (3): 267–283. doi :10.1007/BF02414066 . ISSN 0046-5755 . ^ Wagner, Neal R. (1976). “The Sofa Problem” . The American Mathematical Monthly 83 (3): 188–189. doi :10.2307/2977022 . JSTOR 2977022 . http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf . ^ Stewart, Ian (January 2004). Another Fine Math You've Got Me Into... ISBN 0486431819 . http://store.doverpublications.com/0486431819.html 2013年4月24日閲覧。 ^ Kallus, Yoav; Romik, Dan (December 2018). “Improved upper bounds in the moving sofa problem”. Advances in Mathematics 340 : 960–982. arXiv :1706.06630 . doi :10.1016/j.aim.2018.10.022 . ISSN 0001-8708 . ^ Romik, Dan (2017). “Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem”. Experimental Mathematics 26 (2): 316–330. arXiv :1606.08111 . doi :10.1080/10586458.2016.1270858 . ^ Baek, Jineon (29 November 2024). "Optimality of Gerver's Sofa". arXiv :2411.19826 math.MG ]。
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{3+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{3-2{\sqrt {2}}}}-1+\tan ^{-1}\left\{{1 \over 2}\left({\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}\right)\right\}\approx 1.644955218}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99991ad62c4b76202ee0735b5228e71b679a70b0)
