ソファ問題

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ソファ問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/14 13:29 UTC 版)

数学上の未解決問題

L字型の通路をとおすことができる、ソファの面積の最大値は?

面積 π/2 + 2/π = 2.207416... の受話器の形をしたソファ。これは最大ではない。

ソファ問題（ソファもんだい）は数学の問題のひとつ。1966年にレオ・モーザー（英語版）によって問題が提示された。この問題は「L字型の通路を通り抜けることができる、ソファの面積の最大値 A を求めよ」という離散幾何学、数学パズルの問題である。

A の下界と上界

下界

通路の幅が1であるとき、半径1の半円はL字型の通路を通すことができるので、Aの下界の一つとして ${\displaystyle A\geq {\frac {\pi }{2}}\approx 1.570796}$

18の線からなるガーバーのソファ

1992年にラトガース大学のジョセフ・ガーバー (Joseph L. Gerver) ^{[注釈 1]}によって、18の線（3の直線と15の曲線）からなる図形により、さらに優れたAの下界の一つ 2.21953166887...（オンライン整数列大辞典の数列 A128463）が示された^[4]。

上界

一方、A の上界については、ハマーズレイによる簡単な議論によって高々 ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\approx 2.828427}$

ロミックの両手利きのソファ

この問題の変種の一つとして、単位幅の通路の途中にある直角の右折と左折の両方を通過できるようなソファの面積の最大値を求める問題がある（つまり、途中にまず右折があり、その後十分な距離をおいて左折があるような一本道を想定している）。ロミックは18の曲線からなる図形によって、

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{3-2{\sqrt {2}}}}-1+\tan ^{-1}\left\{{1 \over 2}\left({\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}-{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}\right)\right\}\approx 1.644955218}$